2011-福建卷文-02 单-复数幂运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及虚数单位的幂。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） $i$ 是虚数单位，$1+i^3=$ ()

A. $i$　　　　　　B. $-i$　　　　　　C. $1+i$　　　　　　D. $1-i$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先算 $i^3=-i$
2. 步骤2：再相加

✅【答案】

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D$1-i$

✍【详细解析】

Abstract

$i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=i^2\cdot i=-i$，$i^4=1$，幂以 $4$ 为周期。

故 $1+i^3=1-i$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：虚数单位幂的周期性；复数加法

核心方法：利用 $i^4=1$ 的周期性化简 $i^3=-i$

避坑指南：$i^3=-i$ 而非 $i$（$i^2=-1$ 代入后符号取负）；别把 $1+i^3$ 误算成 $1+i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数幂运算题与 2011-浙江卷文-02、2012-新课标卷文-02、2012-福建卷文-01 同族。

结论推广：推广：$i^n$ 按 $n\mathrm{mod}4$ 取值——余 $1$ 为 $i$，余 $2$ 为 $-1$，余 $3$ 为 $-i$，余 $0$ 为 $1$。

方法推广：复数小题：先把 $i$ 的高次幂化到 $i^0$ 至 $i^3$，再做加减乘除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-02 单-复数乘法运算
• 2012-新课标卷文-02 单-复数的除法运算
• 2012-福建卷文-01 单-复数乘法运算