2011-福建卷文-17 解-等差数列基本量

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及前 $n$ 项和公式。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_3=-3$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)若数列 $\{a_n\}$ 的前 $k$ 项和 $S_k=-35$，求 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $a_1$
2. 步骤2：$a_3$ 求 $d$ 得通项
3. 步骤3：$S_k=\frac{k(a_1+a_k)}{2}=-35$ 解 $k$

✅【答案】

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(1)$a_n=3-2n$

(2)$k=7$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公差为 $d$，则 $a_3=a_1+2d$，即 $-3=1+2d$，解得 $d=-2$。

故 $a_n=a_1+(n-1)d=1-2(n-1)=3-2n$。

（2）$S_k=\frac{k(a_1+a_k)}{2}=\frac{k\left[1+(3-2k)\right]}{2}=k(2-k)$。

令 $k(2-k)=-35$，整理得 $k^2-2k-35=0$，即 $(k-7)(k+5)=0$，解得 $k=7$ 或 $k=-5$。

因 $k$ 为项数，$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，舍去 $k=-5$，故 $k=7$。

验算：$S_7=\frac{7\times (1-11)}{2}=\frac{7\times (-10)}{2}=-35$，正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量运算；前 $n$ 项和与项数的限定

核心方法：基本量法：$a_1$，$d$ 两个未知数两条方程；和式用中项形式 $\frac{k(a_1+a_k)}{2}$ 计算量最小

避坑指南：$k(2-k)=-35$ 整理后有两根 $7$ 与 $-5$，项数必须为正整数，$k=-5$ 是本题的舍根陷阱；验算 $S_7$ 防止符号错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本量题与 2012-北京卷文-10、2011-天津卷文-11、2013-安徽卷文-07 同族。

结论推广：推广：$S_k=-35$ 等价于 $\{S_n\}$ 图象上过原点的抛物线取负值——$S_n=-n^2+2n$，顶点在 $n=1$，$n⩾7$ 后 $S_n<-35$ 不再回头，方程正根唯一。

方法推广：等差数列解答题：基本量法列方程组；求和优先用 $\frac{n(a_1+a_n)}{2}$；解出的 $n$ 必须回验正整数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-10 填-等差数列基本量
• 2011-天津卷文-11 填-等差数列基本量
• 2013-安徽卷文-07 单-等差数列基本量