2011-福建卷理-16 解-函数

本题导读

本题考查等比数列的通项公式与求和公式。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q=3$，前 3 项和 $S_3=\frac{13}{3}$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若函数 $f(x)=A\sin (2x+\phi )$ ($A>0,0<\phi <\pi$) 在 $x=\frac{\pi }{6}$ 处取得最大值，且最大值为 $a_3$，求函数 $f(x)$ 的解析式.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由等比数列前 $n$ 项和公式 $S_3=\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}$ 或直接利用 $a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=S_3$，列方程求出首项 $a_1$，进而写出通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$。
2. 第二问：根据第一问求得的 $a_3$，由 $f(x)$ 的最大值为 $a_3$ 且 $A>0$ 确定振幅 $A$；再由函数在 $x=\frac{\pi }{6}$ 处取得最大值，列出相位方程 $2\times \frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)，结合 $\phi \in (0,\pi )$ 确定 $\phi$ 的值，写出函数解析式。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$。 因为 $q=3$，前 3 项和 $S_3=\frac{13}{3}$， 所以由求和公式：

$$S_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=a_1(1+3+9)=13a_1.$$

即：

$$13a_1=\frac{13}{3}⟹a_1=\frac{1}{3}.$$

因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：

$$a_n=a_1{q}^{n-1}=\frac{1}{3}\times 3^{n-1}=3^{n-2}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast }).$$

(2) 解： 由 (1) 可知：

$$a_3=3^{3-2}=3.$$

因为函数 $f(x)=A\sin (2x+\phi )$ ($A>0$) 的最大值为 $a_3$， 所以：

$$A=a_3=3.$$

又因为函数 $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi }{6}$ 处取得最大值， 所以：

$$2\times \frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z}),$$

即：

$$\frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟹\phi =\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z}).$$

由于 $0<\phi <\pi$，取 $k=0$，得：

$$\phi =\frac{\pi }{6}.$$

所以，函数 $f(x)$ 的解析式为：

$$f(x)=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right).$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比数列通项与前 $n$ 项和公式、正弦型函数的图象性质（振幅、最值点与初相）。
• 核心方法：基本量列方程法、整体相位法（令 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 求初相）。
• 避坑指南：
• 求解通项公式时，注意化简底数相同的指数形式：$\frac{1}{3}\times 3^{n-1}=3^{n-2}$；
• 求解初相 $\phi$ 时，不可漏掉周期项 $2k\pi$，应由题设范围 $0<\phi <\pi$ 严格筛选 $k$ 的取值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：数列基本量与三角函数图象性质交汇的经典基础解答题，常见于高考解答题第一题位置。
• 结论推广：若函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ ($A>0,\omega >0$) 在 $x=x_0$ 处取得最值，则整体相位必满足 $\omega x_0+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$（最大值对应偶数倍 $\pi$ 偏移，最小值对应奇数倍 $\pi$ 偏移）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项