2011-福建卷理-19 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列性质。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 $X$ 依次为 $1,2,\cdots ,8$，其中 $X⩾5$ 为标准 $A$，$X⩾3$ 为标准 $B$，已知甲厂执行标准 $A$ 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 $B$ 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.

(1) 已知甲厂产品的等级系数 $X_1$ 的概率分布列如下表所示：

$X_1$	5	6	7	8
$P$	0.4	$a$	$b$	0.1

且 $X_1$ 的数学期望 $E(X_1)=6$，求 $a,b$ 的值；

(2) 为分析乙厂产品的等级系数 $X_2$，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 & 5 & 3 & 3 & 8 & 5 & 5 & 6 & 3 & 4 \\ 6 & 3 & 4 & 7 & 5 & 3 & 4 & 8 & 5 & 3 \\ 8 & 3 & 4 & 3 & 4 & 4 & 7 & 5 & 6 & 7 \end{matrix}$$ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 $X_2$ 的数学期望； (3) 在 (1)、(2) 的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比” $= \dfrac{\text{产品的等级系数的数学期望}}{\text{产品的零售价}}$； ② “性价比”大的产品更具购买性.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用分布列各事件概率之和为 1 列出 $0.4+a+b+0.1=1$；再根据数学期望定义式 $E(X_1)=5\times 0.4+6a+7b+8\times 0.1=6$ 列出第二个方程，联立解出 $a,b$。
2. 第二问：统计 30 个样本数据中各等级系数出现的频数，计算对应的频率并视作概率分布列，代入离散型随机变量数学期望公式（或直接求样本均值）计算 $E(X_2)$。
3. 第三问：依据题目给出的“性价比”公式，分别代入两厂产品的期望与零售价计算比值，通过大小比较得出结论。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由离散型随机变量分布列的性质可知，各概率之和等于 1，即：

$$0.4+a+b+0.1=1⟹a+b=\mathrm{0.5.}\text{(1)}$$

又因为 $X_1$ 的数学期望 $E(X_1)=6$，所以：

$$5\times 0.4+6a+7b+8\times 0.1=6⟹2.0+6a+7b+0.8=6⟹6a+7b=\mathrm{3.2.}\text{(2)}$$

联立 ①、② 式：

$$\{\begin{array}{l}a+b=0.5\\ 6a+7b=3.2\end{array}$$

由 ① 得 $6a+6b=3.0$，与 ② 作差得：

$$b=\mathrm{0.2.}$$

代入 ① 得：

$$a=0.5-0.2=\mathrm{0.3.}$$

所以 $a=0.3$，$b=0.2$。

(2) 解： 在抽取的 30 件样本产品中，统计各等级系数出现的频数如下：

• 等级系数 3 出现的频数为 9；
• 等级系数 4 出现的频数为 6；
• 等级系数 5 出现的频数为 6；
• 等级系数 6 出现的频数为 3；
• 等级系数 7 出现的频数为 3；
• 等级系数 8 出现的频数为 3. （检查频数和：$9+6+6+3+3+3=30$）

将频率视为概率，则等级系数 $X_2$ 的概率分布列为：

$X_2$	3	4	5	6	7	8
$P$	$\frac{9}{30}$	$\frac{6}{30}$	$\frac{6}{30}$	$\frac{3}{30}$	$\frac{3}{30}$	$\frac{3}{30}$

计算等级系数 $X_2$ 的数学期望：

$$\begin{array}{rl}E(X_2)& =3\times \frac{9}{30}+4\times \frac{6}{30}+5\times \frac{6}{30}+6\times \frac{3}{30}+7\times \frac{3}{30}+8\times \frac{3}{30}\\ & =\frac{27+24+30+18+21+24}{30}\\ & =\frac{144}{30}=\mathrm{4.8.}\end{array}$$

所以，等级系数 $X_2$ 的数学期望为 $4.8$。

(3) 解： 乙厂的产品更具购买性。理由如下： 由题意，甲厂产品的零售价为 6 元/件，等级系数期望 $E(X_1)=6$； 乙厂产品的零售价为 4 元/件，等级系数期望 $E(X_2)=4.8$。 分别计算两厂产品的性价比：

• 甲厂产品的性价比为：

$$k_1=\frac{E(X_1)}{6}=\frac{6}{6}=1.$$

• 乙厂产品的性价比为：

$$k_2=\frac{E(X_2)}{4}=\frac{4.8}{4}=\mathrm{1.2.}$$

因为 $k_2>k_1$，即乙厂产品的性价比大于甲厂产品的性价比， 所以，乙厂的产品更具购买性。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分布列全概率为 1 的约束、离散型随机变量数学期望的公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$、用样本平均数估计总体期望。
• 核心方法：二元一次方程组求解未知概率、频数列表统计法。
• 避坑指南：
• 统计 30 个原始样本数据时需仔细清点，核对频数总和是否恰为 30，避免漏计或错计；
• 第 (3) 问说明理由时，必须完整写出两厂性价比的计算过程并进行数值比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的统筹学效用分析与高考统计决策应用题。
• 结论推广：在离散随机变量的决策评价中，通常引入效用比指标 $R=\frac{E(U)}{C}$（期望效用与花费比），当样本容量充分大时，样本均值依概率收敛于总体期望，据此可建立稳定的统计决策规则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望
• 2014-上海卷理-13 填-数学期望