2011-辽宁卷文-15 填-等差数列和差性质

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和，以及等差数列的性质（对称性）。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{2} = S_{6}$ ， $a_{4} = 1$ ，则 $a_{5} =$ .

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步骤1： $S_{6} - S_{2} = a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 0$

步骤2：由对称性 $a_{4} + a_{5} = 0$

✅【答案】

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$- 1$

✍【详细解析】

Abstract

$S_{6} - S_{2} = a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 0$ 。

等差数列中 $a_{3} + a_{6} = a_{4} + a_{5}$ （下标和相等），故 $2 (a_{4} + a_{5}) = 0$ ， $a_{5} = - a_{4} = - 1$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列下标和性质（ $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 当 $m + n = p + q$ ）； $S_{n}$ 与通项的关系

核心方法： $S_{6} - S_{2}$ 化为四项之和，再用”下标和相等则两项和相等”向 $a_{4} + a_{5}$ 靠拢

避坑指南： $S_{2} = S_{6}$ 不意味着公比为零或数列常数——它等价于中间四项和为零； $a_{3} + a_{6} = a_{4} + a_{5}$ 依赖下标和 $3 + 6 = 4 + 5$ ，配对别错成 $a_{3} + a_{5} = a_{4} + a_{6}$ （也成立但用不上）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列性质题与 2012-辽宁卷文-04、2013-上海卷文-02 同族。

结论推广：推广：等差数列中 $S_{m} = S_{n}$ （ $m \neq = n$ ）给出 $\sum$ 中段项和为零，配合下标和性质可秒得特定项；一般 $S_{n}$ 是关于 $n$ 的二次函数（无常数项），对称轴与最值联动。

方法推广：等差数列小题： $S$ 的差就是对应段的项之和，再反复使用”下标和相等”重配对，避免解方程组。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2012-辽宁卷文-04 单-等差数列性质

2013-上海卷文-02 填-等差数列性质

∑ ( Math )

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2011-辽宁卷文-15 填-等差数列和差性质

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