2011-辽宁卷文-16 填-零点参变分离求范围

本题导读

本题考查函数的零点，以及参变分离。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x-2x+a$ 有零点，则 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：分离参数 $a=2x-{\mathrm{e}}^x$
2. 步骤2：求右侧函数的最大值

✅【答案】

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$(-\infty ,2\ln 2-2]$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=0$ 有解 $⟺{\mathrm{e}}^x-2x=-a$ 有解 $⟺a=2x-{\mathrm{e}}^x$ 有解。

设 $h(x)=2x-{\mathrm{e}}^x$，$h^{\prime }(x)=2-{\mathrm{e}}^x$。

$x<\ln 2$ 时 $h^{\prime }>0$，$h$ 递增；$x>\ln 2$ 时 $h^{\prime }<0$，$h$ 递减。故 $h$ 在 $x=\ln 2$ 处取最大值 $h(\ln 2)=2\ln 2-{\mathrm{e}}^{\ln 2}=2\ln 2-2$；又 $x\to -\infty$ 时 $h\to -\infty$，$x\to +\infty$ 时 $h\to -\infty$，$h$ 的值域为 $(-\infty ,2\ln 2-2]$。

故 $a\in (-\infty ,2\ln 2-2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：零点存在与参数分离；指数函数求导；含 $\ln 2$ 的最值

核心方法：“有零点”翻译成”$a$ 属于 $h(x)$ 的值域”，用单调性求值域端点

避坑指南：分离后 $h(x)=2x-{\mathrm{e}}^x$ 的最大值点是 $x=\ln 2$（驻点 $2-{\mathrm{e}}^x=0$），最大值 $2\ln 2-2$ 是负数——别凭直觉写成正值；$h$ 两端都趋于 $-\infty$，所以值域是”$⩽$ 最大值”的完整半直线，不能只写单点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点求参题与 2012-新课标卷文-21、2012-陕西卷文-21 同族。

结论推广：推广：$g(x)+a=0$ 有解 $⟺-a\in$ 值域$(g)$；${\mathrm{e}}^x$ 与一次项混合的最值驻点常落在 $x=\ln c$（$c$ 为一次项系数），结果形如 $c\ln c-c$。

方法推广：零点/交点求参填空：能分离参数就分离，把问题压缩为”求一个具体函数的值域”，单调性分析两端极限务必齐全。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-21 解-导数恒成立与隐零点
• 2012-陕西卷文-21 解-导数零点与最值范围