2011-辽宁卷理-04 单-两角和

本题导读

本题考查正弦定理，以及三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） $△ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，并且有 $a\sin A\sin B+b{\cos }^{2}A=\sqrt{2}a$，则 $\frac{b}{a}=$ ()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 利用正弦定理将式子中的边 $a,b$ 或角转化为同类表达（角化边或边化角）。
2. 提取公因式结合三角形内角和定理 $\sin (A+B)=\sin C$ 或恒等式化简。
3. 建立 $b$ 与 $a$ 的直接等式求比值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知 $a\sin A\sin B+b{\cos }^{2}A=\sqrt{2}a$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$，得 $a\sin B=b\sin A$。 将 $a\sin B=b\sin A$ 代入已知等式第一项： $a\sin A\sin B=\sin A(a\sin B)=\sin A(b\sin A)=b{\sin }^{2}A$ 原等式转化为： $b{\sin }^{2}A+b{\cos }^{2}A=\sqrt{2}a$ 提取公因式 $b$： $b({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)=\sqrt{2}a$ 由于 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$，化简得： $b=\sqrt{2}a$ 两边同除以 $a$，得： $\frac{b}{a}=\sqrt{2}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理公式代换与同角三角函数平方和公式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$。
• 核心方法：利用 $a\sin B=b\sin A$ 进行局部代换，构造公因式。
• 避坑指南：若将整个式子全化为角，容易陷入两角和差公式展开的死胡同；局部发现 $a\sin B$ 可以化为 $b\sin A$ 能够秒解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：三角形边角对称式变换与勾股结构恒等式的组合设问。
• 结论推广：在解三角形中，若出现 $a\cdot (\dots \sin B)+b\cdot (\dots )$ 形式，利用 $a\sin B=b\sin A$ 实现交叉因子的统一是常见突破口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形
• 2012-大纲卷文-17 解-等差内角与正弦定理
• 2013-浙江卷理-16 填-正弦定理