2011-辽宁卷理-22 解-轨迹方程

本题导读

本题考查圆内接四边形的性质与判定。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 22. 三选一. 【A】如图，$A,B,C,D$ 四点在同一个圆上，$AD$ 的延长线与 $BC$ 的延长线交于 $E$ 点，且 $EC=ED$.

(1) 证明：$CD\parallel AB$；

(2) 延长 $CD$ 到 $F$，延长 $DC$ 到 $G$，使得 $EF=EG$，证明：$A,B,G,F$ 四点共圆.

【B】在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos \phi \\ y=\sin \phi \end{array}$（$\phi$ 为参数），曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a\cos \phi \\ y=b\sin \phi \end{array}$（$a>b>0$，$\phi$ 为参数）.在以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l:\theta =\alpha$ 与 $C_1,C_2$ 各有一个交点，当 $\alpha =0$ 时，这两个交点间的距离为 2，当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，这两个交点重合.

(1) 分别说明 $C_1,C_2$ 是什么曲线，并求出 $a$ 与 $b$ 的值；

(2) 设当 $\alpha =\frac{\pi }{4}$ 时，$l$ 与 $C_1,C_2$ 的交点分别为 $A_1,B_1$，当 $\alpha =-\frac{\pi }{4}$ 时，$l$ 与 $C_1,C_2$ 的交点分别为 $A_2,B_2$，求四边形 $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ 的面积.

【C】已知函数 $f(x)=|x-2|-|x-5|$.

(1) 证明：$-3⩽f(x)⩽3$；

(2) 求不等式 $f(x)⩾x^2-8x+15$ 的解集.

🔍【思路分析】

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【A】

1. 对 (1)：利用 $EC=ED$ 得 $\angle EDC=\angle ECD$；由圆内接四边形外角等于内对角得 $\angle ECD=\angle A$，从而 $\angle EDC=\angle A$，得同位角相等证平行。
2. 对 (2)：由全等或割线定理结合 $EF=EG$ 说明对称等腰梯形，通过对角互补或圆周角相等证四点共圆。 【B】
3. 对 (1)：消参化为普通方程，判断曲线类型；结合射线在坐标轴上的交点坐标列方程求 $a,b$。
4. 对 (2)：由对称性确定四边形为等腰梯形，求出对应交点的极坐标或直角坐标，由面积公式求值。 【C】
5. 对 (1)：应用绝对值三角不等式直接放缩证明界限。
6. 对 (2)：按绝对值分界点 2 和 5 分段写出 $f(x)$，分区间与二次不等式联立求解并求并集。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【A】

(1) 因为 $EC=ED$，所以 $\angle EDC=\angle ECD$。 因为 $A,B,C,D$ 四点共圆， 由圆内接四边形的性质（外角等于它的内对角），得： $\angle ECD=\angle EAB$ 所以 $\angle EDC=\angle EAB$。 因此 $CD\parallel AB$。

(2) 因为 $EC=ED$，$EF=EG$，且 $F,D,C,G$ 共线， 由对称性（或三线合一），$E$ 点在 $FG$ 的垂直平分线上， 在 $△EFD$ 与 $△EGC$ 中： $ED=EC$，$EF=EG$，$FD=GC$，故 $△EFD\cong △EGC$。 从而 $\angle EFD=\angle EGC$，即 $△EFG$ 为等腰三角形。 由 (1) 知 $CD\parallel AB$，故 $FG\parallel AB$。 因此 $\angle EFA=\angle A$，$\angle EGB=\angle B$。 又由 $\angle EFD=\angle EGC$ 得 $\angle A=\angle B$。 在四边形 $ABGF$ 中： $\angle GFA=180^{\circ }-\angle EFA=180^{\circ }-\angle A$。 所以： $\angle GFA+\angle B=180^{\circ }-\angle A+\angle A=180^{\circ }$ 即四边形 $ABGF$ 的一组对角互补。 所以 $A,B,G,F$ 四点共圆。

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【B】

(1) 消去参数 $\phi$： 曲线 $C_1$ 的普通方程为 $x^2+y^2=1$，表示以原点为圆心、半径为 1 的圆。 曲线 $C_2$ 的普通方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），表示中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的椭圆。 当 $\alpha =0$ 时，射线为 $x$ 轴正半轴， 与 $C_1$ 的交点为 $(1,0)$，与 $C_2$ 的交点为 $(a,0)$。 由题意两交点间距离为 2，且 $a>b>0$： $a-1=2⟹a=3$ 当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，射线为 $y$ 轴正半轴， 与 $C_1$ 的交点为 $(0,1)$，与 $C_2$ 的交点为 $(0,b)$。 由两交点重合，得： $b=1$ 故 $C_1$ 是以原点为圆心、半径为 1 的圆；$C_2$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，其 $a=3,b=1$。

(2) 曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho =1$； 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为： $\frac{{\rho }^2{\cos }^2\theta }{9}+\frac{{\rho }^2{\sin }^2\theta }{1}=1⟹{\rho }^2=\frac{9}{{\cos }^2\theta +9{\sin }^2\theta }$ 当 $\alpha =\frac{\pi }{4}$ 时，${\cos }^2\frac{\pi }{4}={\sin }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$， 代入得： ${\rho }_{B_1}^2=\frac{9}{\frac{1}{2}+9\times \frac{1}{2}}=\frac{9}{5}⟹{\rho }_{B_1}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ 此时 ${\rho }_{A_1}=1$。 由对称性，当 $\alpha =-\frac{\pi }{4}$ 时： ${\rho }_{A_2}=1,{\rho }_{B_2}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ 点 $A_1,A_2,B_2,B_1$ 关于 $x$ 轴对称。 射线 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 与 $\theta =-\frac{\pi }{4}$ 互相垂直（夹角为 $\frac{\pi }{2}$）。 四边形 $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ 的面积可通过三角形面积相减求得： $S_{A_1{A}_2{B}_2{B}_1}=S_{△O{B}_1{B}_2}-S_{△O{A}_1{A}_2}$ $=\frac{1}{2}{\rho }_{B_1}{\rho }_{B_2}\sin \left(\frac{\pi }{4}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)-\frac{1}{2}{\rho }_{A_1}{\rho }_{A_2}\sin \left(\frac{\pi }{4}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$ $=\frac{1}{2}{\left(\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)}^2\sin \frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}(1{)}^2\sin \frac{\pi }{2}=\frac{1}{2}\times \frac{9}{5}\times 1-\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{9}{10}-\frac{5}{10}=\frac{2}{5}$ 故四边形 $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ 的面积为 $\frac{2}{5}$。

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【C】

(1) 由绝对值三角不等式 $||a|-|b||⩽|a-b|⩽|a|+|b|$： $|f(x)|=||x-2|-|x-5||⩽|(x-2)-(x-5)|=|3|=3$ 即 $-3⩽f(x)⩽3$。 命题得证。

(2) 将 $f(x)$ 化为分段函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}-(x-2)-[-(x-5)]=-3,& x⩽2\\ (x-2)-[-(x-5)]=2x-7,& 2<x<5\\ (x-2)-(x-5)=3,& x⩾5\end{array}$ 原不等式等价于： ① 当 $x⩽2$ 时： $-3⩾x^2-8x+15⟺x^2-8x+18⩽0$ 因为判别式 $\Delta =64-72=-8<0$，该不等式无解。 ② 当 $2<x<5$ 时： $2x-7⩾x^2-8x+15⟺x^2-10x+22⩽0$ 解得 $5-\sqrt{3}⩽x⩽5+\sqrt{3}$。 结合 $2<x<5$，得： $5-\sqrt{3}⩽x<5$ ③ 当 $x⩾5$ 时： $3⩾x^2-8x+15⟺x^2-8x+12⩽0$ 解得 $2⩽x⩽6$。 结合 $x⩾5$，得： $5⩽x⩽6$ 综合 ①、②、③，不等式的解集为 $[5-\sqrt{3},5)\cup [5,6]=[5-\sqrt{3},6]$。 故所求不等式的解集为 $[5-\sqrt{3},6]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：
• 【A】圆内接四边形对角互补及外角性质；
• 【B】参数方程化普通方程、极坐标面积公式；
• 【C】绝对值三角不等式的极值性质与零点分段求解。
• 核心方法：
• 【B】利用对顶角垂直的扇面三角形面积差求等腰梯形面积；
• 【C】根据绝对值零点 $x=2,5$ 分三段去掉绝对值符号。
• 避坑指南：
• 【B】中求面积时注意射线夹角为 $\frac{\pi }{4}-(-\frac{\pi }{4})=\frac{\pi }{2}$；
• 【C】中求解二次不等式后必须与对应的分类前提区间取交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考选考三个模块的标准基础与中档命题，分别针对几何直观、坐标法转化及绝对值不等式结构。
• 结论推广：对任意形式 $f(x)=|x-a|-|x-b|$，函数的值域恒为 $[-|a-b|,|a-b|]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2010-北京卷理-12
• 2010-陕西卷理-15
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理