2011-重庆卷理-04 单-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） $(1+3x{)}^n$（其中 $n\in \mathbf{N}$ 且 $n⩾6$）的展开式中 $x^5$ 与 $x^6$ 的系数相等，则 $n=$ ()

A. $6$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 写出 $(1+3x{)}^n$ 的通项公式。
2. 分别列出 $x^5$ 与 $x^6$ 的系数表达式。
3. 令两系数相等，利用组合数阶乘定义解方程求 $n$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项公式为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r(3x{)}^r={\mathrm{C}}_n^r{3}^r{x}^r$。 $x^5$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_n^5{3}^5$，$x^6$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_n^6{3}^6$。 由题意得： ${\mathrm{C}}_n^5{3}^5={\mathrm{C}}_n^6{3}^6⟹{\mathrm{C}}_n^5=3{\mathrm{C}}_n^6$。 展开组合数： $\frac{n!}{5!(n-5)!}=3\times \frac{n!}{6!(n-6)!}$。 化简得： $\frac{1}{n-5}=3\times \frac{1}{6}⟹\frac{1}{n-5}=\frac{1}{2}$。 解得 $n=7$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的各项系数分析。
• 核心方法：组合数化简性质 $\frac{{\mathrm{C}}_n^r}{{\mathrm{C}}_n^{r+1}}=\frac{r+1}{n-r}$。
• 避坑指南：注意二项式系数与项的系数的区别，不可遗漏系数中的底数幂次 $3^r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：二项式展开系数规律的逆向设问模型。
• 结论推广：在 $(1+ax{)}^n$ 中，若 $x^r$ 与 $x^{r+1}$ 系数相等，则满足 $\frac{n-r}{r+1}a=1$。

🔗【关联脉络】

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