2011-陕西卷文-08 单-三角值域与复数模交集

本题导读

本题考查集合的交集，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 设集合 $M=\left\{y|y=\left|{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right|,x\in \mathbf{R}\right\}$，$N=\left\{x|\left|\frac{x}{i}\right|<1,i\text{ 为虚数单位},x\in \mathbf{R}\right\}$，则 $M\cap N$ 为 ()

A. $(0,1)$　　　　　B. $(0,1]$　　　　　C. $[0,1)$　　　　　D. $[0,1]$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：分别求 $M$（值域）与 $N$（模的范围）
2. 步骤2：再取交集

✅【答案】

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C$[0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$，故 $M=\{y\mid y=|\cos 2x|,x\in \mathbf{R}\}$。

$|\cos 2x|$ 的取值范围是 $[0,1]$，即 $M=[0,1]$。

对实数 $x$，$\left|\frac{x}{i}\right|=\frac{|x|}{|i|}=|x|$，条件 $|x|<1$ 给出 $N=(-1,1)$。

所以 $M\cap N=[0,1]\cap (-1,1)=[0,1)$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式的化简；绝对值函数的值域；复数模的运算；区间交集的端点

核心方法：两个集合分别”化到最简”：$M$ 化为 $|\cos 2x|$ 的值域，$N$ 用模的除法法则化为 $|x|<1$

避坑指南：端点是唯一考点：$M$ 含 $0$ 与 $1$（都能取到），$N$ 是开区间（$1$ 取不到）——交集左端 $0$ 保留、右端 $1$ 舍去；漏掉 $y=0$（认为 $|\cos 2x|>0$）或把 $N$ 写成闭区间都会错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合与三角（复数）综合题与 2011-山东卷文-01、2012-浙江卷文-01、2011-天津卷文-09 同族。

结论推广：推广：$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2\ne 0$）对一切复数成立，实数除以 $i$ 后模不变；区间运算先各自写成标准区间，再按”交集取严”逐端点处理。

方法推广：集合化简题：先各自化为最简形式（值域或解集），明确每个端点的开闭，再按交集定义合并。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-01 单-集合交集
• 2012-浙江卷文-01 单-集合补集交集
• 2011-天津卷文-09 填-集合与整数交集