2011-陕西卷文-18 解-余弦定理叙述与证明

本题导读

本题考查余弦定理，以及定理的证明（坐标法）。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 叙述并证明余弦定理.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：叙述定理后
2. 步骤2：以 $A$ 为原点建系
3. 步骤3：用两点间距离公式展开即得

✅【答案】

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余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$（及轮换式）。证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

余弦定理：在 $△ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 为角 $A$，$B$，$C$ 的对边，则

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

证明：以 $A$ 为原点、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，则 $B(c,0)$。

由三角函数定义，$C(b\cos A,b\sin A)$。

由两点间距离公式：

$a^2=|BC{|}^2=(b\cos A-c{)}^2+(b\sin A{)}^2=b^2{\cos }^{2}A-2bc\cos A+c^2+b^2{\sin }^{2}A=b^2+c^2-2bc\cos A$。

同理，对顶点 $B$，$C$ 建系（或轮换字母）可得另外两式。定理得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理的完整叙述；用坐标法（解析法）证明几何定理

核心方法：建系把”边角关系”化为坐标运算：$C$ 点坐标由 $|AC|=b$ 与角 $A$ 的三角函数写出，距离公式展开即得

避坑指南：叙述必须完整：文字表述（“任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与夹角余弦之积的两倍”）与三个公式缺一不可，只写一个式子会扣分；证明中 $C$ 的坐标是 $(b\cos A,b\sin A)$ 而不是 $(c\cos A,c\sin A)$——角 $A$ 的邻边是 $b=AC$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定理叙述与证明题与 2011-新课标卷文-15、2012-陕西卷文-13 同族（解三角形基础）。

结论推广：推广：坐标法是证明几何定理的通用框架（同法可证正弦定理、两点间距离公式族）；当 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 反解出余弦，即得余弦定理的等价形式，用于”已知三边求角”。

方法推广：“叙述并证明”类题：先一字不差写出文字与公式，再选最短的证明路径（坐标法通常最稳）；字母对应关系写清是得分关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-15 填-余弦定理与面积
• 2012-陕西卷文-13 填-余弦定理解三角形