2011-陕西卷文-21 解-对数导数单调比较恒成立

本题导读

本题考查对数函数的导数，以及单调区间与最小值。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 设 $f(x)=\ln x$，$g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)$.

(1)求 $g(x)$ 的单调区间和最小值；

(2)讨论 $g(x)$ 与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$ 的大小关系；

(3)求 $a$ 的取值范围，使得 $g(a)-g(x)<\frac{1}{a}$ 对任意 $x>0$ 成立.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）直接求导
2. 步骤2：（2）作差 $h(x)=g(x)-g\left(\frac{1}{x}\right)$
3. 步骤3：由 $h^{\prime }⩽0$ 定符号
4. 步骤4：（3）用 $g(x)⩾1$ 归结为 $x=1$ 处成立

✅【答案】

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(1) $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增，最小值 $g(1)=1$

(2) $0<x<1$ 时 $g(x)>g\left(\frac{1}{x}\right)$；$x=1$ 时相等；$x>1$ 时 $g(x)<g\left(\frac{1}{x}\right)$

(3) $0<a<\mathrm{e}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$g(x)=\ln x+\frac{1}{x}$（$x>0$），$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$。

当 $0<x<1$ 时 $g^{\prime }(x)<0$，$g$ 递减；当 $x>1$ 时 $g^{\prime }(x)>0$，$g$ 递增。

故减区间 $(0,1)$，增区间 $(1,+\infty )$，最小值 $g(1)=1$。

（2）令 $h(x)=g(x)-g\left(\frac{1}{x}\right)=\ln x+\frac{1}{x}-\left(\ln \frac{1}{x}+x\right)=2\ln x+\frac{1}{x}-x$。

$h(1)=0$，且 $h^{\prime }(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-1=\frac{2x-x^2-1}{x^2}=-\frac{(x-1{)}^2}{x^2}⩽0$。

故 $h$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减（仅在 $x=1$ 处导数为零，不影响单调性）：$0<x<1$ 时 $h(x)>h(1)=0$，即 $g(x)>g\left(\frac{1}{x}\right)$；$x=1$ 时相等；$x>1$ 时 $g(x)<g\left(\frac{1}{x}\right)$。

（3）对任意 $x>0$，$g(x)⩾g(1)=1$（当且仅当 $x=1$ 取等）。故 $g(a)-g(x)⩽g(a)-1$，且最值在 $x=1$ 处逼近。

要使 $g(a)-g(x)<\frac{1}{a}$ 对一切 $x>0$ 成立，当且仅当在 $x=1$ 处也成立：$g(a)-1<\frac{1}{a}$。

代入 $g(a)=\ln a+\frac{1}{a}$：$\ln a<1$，结合 $a>0$ 得 $0<a<\mathrm{e}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含对数函数的单调性与最值；构造差函数比较大小；”$g(x)$ 有下界 $1$“型恒成立转化

核心方法：单调性由 $g^{\prime }=\frac{x-1}{x^2}$ 一步定型；比较大小用”作差 + 求导看符号”；恒成立题抓住”最紧的约束在 $x=1$“把任意 $x$ 化为单点

避坑指南：（2）中 $h^{\prime }(x)=-\frac{(x-1{)}^2}{x^2}⩽0$ 的等号只在 $x=1$ 一点成立，不影响 $h$ 严格递减，别据此误判 $h$ 不单调；$g\left(\frac{1}{x}\right)$ 要先化简 $\ln \frac{1}{x}=-\ln x$ 再作差；（3）中不等号是严格的”<“，但 $g(a)-g(x)$ 在 $x\to 1$ 时无限逼近 $g(a)-1$ 却取不到（$x=1$ 恰是约束最紧点且能取到），故条件是"$g(a)-1<\frac{1}{a}$"而不是"$⩽$"——这里差一个等号就会把 $\mathrm{e}$ 错误纳入范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数型导数综合题与 2012-新课标卷文-21、2014-陕西卷文-21、2011-新课标卷文-24 同族。

结论推广：推广：$g(x)=\ln x+\frac{1}{x}$ 的最小值 $1$ 是常用不等式 $\ln x⩾1-\frac{1}{x}$ 的来源（移项即得，$x=1$ 取等）；“对任意 $x$ 成立”的恒成立问题，先找出约束最紧的点（最值点），把无限验证压缩为单点验证。

方法推广：导数压轴三段式：单调性 $\to$ 大小比较（作差构造）$\to$ 恒成立（参变分离或最值控制）；每一问都建立在前一问的结论上，$g(x)⩾1$ 就是（1）为（3）准备的台阶。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-21 解-导数恒成立与隐零点
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合