2011-陕西卷理-13 填-等差数列

本题导读

本题考查归纳推理与合情推理，以及等差数列的通项与求和。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 观察下列等式 $1=1$ $2+3+4=9$ $3+4+5+6+7=25$ $4+5+6+7+8+9+10=49$ $\cdots$ 照此规律，第 $n$ 个等式应为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察等式左侧：

• 第 1 个等式以 1 开头，共 1 项；
• 第 2 个等式以 2 开头，共 3 项，尾项为 4；
• 第 3 个等式以 3 开头，共 5 项，尾项为 7；
• 第 4 个等式以 4 开头，共 7 项，尾项为 10；
• 推断：第 $n$ 个等式以 $n$ 开头，共有 $2n-1$ 项，末项为 $n+(2n-1)-1=3n-2$。

2. 观察等式右侧：

• 分别为 $1=1^2$，$9=3^2$，$25=5^2$，$49=7^2$，即 $(2n-1{)}^2$。

3. 组合左侧与右侧写出完整的等式。

✅【答案】

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$n+(n+1)+(n+2)+\cdots +(3n-2)=(2n-1{)}^2$

✍【详细解析】

Abstract

观察所给出的等式规律：

• 第 1 个等式：首项为 1，共 1 项，等式为 $1=1^2$；
• 第 2 个等式：首项为 2，共有 $3=2\times 2-1$ 项，末项为 $4=3\times 2-2$，和为 $9=3^2=(2\times 2-1{)}^2$；
• 第 3 个等式：首项为 3，共有 $5=2\times 3-1$ 项，末项为 $7=3\times 3-2$，和为 $25=5^2=(2\times 3-1{)}^2$；
• 第 4 个等式：首项为 4，共有 $7=2\times 4-1$ 项，末项为 $10=3\times 4-2$，和为 $49=7^2=(2\times 4-1{)}^2$。 由此归纳得出： 第 $n$ 个等式的左边是从 $n$ 开始的 $2n-1$ 个连续自然数的和，其末项为： $n+(2n-1)-1=3n-2$ 等式的右边为项数的平方，即： $(2n-1{)}^2$ （验证求和：$\frac{[n+(3n-2)](2n-1)}{2}=\frac{(4n-2)(2n-1)}{2}=(2n-1{)}^2$，左右严格恒等）。 所以，第 $n$ 个等式为： $n+(n+1)+(n+2)+\cdots +(3n-2)=(2n-1{)}^2$ 故答案为：$n+(n+1)+(n+2)+\cdots +(3n-2)=(2n-1{)}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：归纳猜想、等差数列通项与求和。
• 核心方法：分别对“首项”、“项数”、“末项”及“等式右边”四个维度独立提炼关于 $n$ 的代数表达式。
• 避坑指南：
• 需写出完整的等式（包含左侧数列及右侧结果），切勿只写右边的求和结果；
• 末项必须化简至最简形式 $3n-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自组合数论中关于奇数完全平方数的连续自然数和表示（尼科马霍斯数阵恒等式的变体）。
• 结论推广：从 $n$ 到 $3n-2$ 共有 $2n-1$ 项，由于项数与对称中心恰好相等，故其和必然恒等于中间项乘项数，即 $(2n-1)\times (2n-1)=(2n-1{)}^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-浙江卷文-14 填-等差数表
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-大纲卷II文-18 解-等差等比综合求和