2010-浙江卷文-14 填-等差数表

本题导读

考查数表归纳。第 $n$ 行第 $j$ 列为 $nj$，第 $n+1$ 列为 $n(n+1)=n^2+n$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.

	第1列	第2列	第3列	$\cdots$
第1行	1	2	3	$\cdots$
第2行	2	4	6	$\cdots$
第3行	3	6	9	$\cdots$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
那么，位于表中的第 $n$ 行第 $n+1$ 列的数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 $1$ 行：$1,2,3,\cdots$，第 $j$ 列为 $j$。
2. 第 $2$ 行：$2,4,6,\cdots$，第 $j$ 列为 $2j$；第 $3$ 行第 $j$ 列为 $3j$。
3. 归纳：第 $n$ 行第 $j$ 列为 $nj$。
4. 第 $n$ 行第 $n+1$ 列为 $n(n+1)=n^2+n$。

✅【答案】

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$n^2+n$

✍【详细解析】

Abstract

观察数表：第 $i$ 行是首项为 $i$、公差为 $i$ 的等差数列， 故第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{ij}=i+(j-1)i=ij.$ （第 $j$ 列同样是首项为 $j$、公差为 $j$ 的等差数列，结果一致。） 取 $i=n$，$j=n+1$： $a_{n,n+1}=n(n+1)=n^2+n.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数表中的等差数列

核心方法：逐行观察首项与公差，归纳通项 $a_{ij}=ij$

避坑指南：第 $n$ 行第 $n+1$ 列不是第 $n+1$ 行第 $n$ 列，但本题 $a_{ij}=ij$ 关于行列对称，结果相同；下标 $n+1$ 别当成 $n-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数表题的通法：先行列分离找规律，再归纳一般项。

结论推广：每行公差 $=$ 行号、每列公差 $=$ 列号，是本表的结构特征。

方法推广：归纳后用具体位置（如第 $2$ 行第 $3$ 列 $=6$）回验通项。

🔗【关联脉络】

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• 2012-北京卷文-20 解-数表新定义极值
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