2011-陕西卷理-20 解-期望

本题导读

本题考查频率分布表与概率估计。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 如图，$A$ 地到火车站共有两条路径 $L_1$ 和 $L_2$，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

所用时间（分钟）	$10\sim 20$	$20\sim 30$	$30\sim 40$	$40\sim 50$	$50\sim 60$
选择 $L_1$ 的人数	6	12	18	12	12
选择 $L_2$ 的人数	0	4	16	16	4

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站.

(1) 为了最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2) 用 $X$ 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对 (1) 的选择方案，求 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：分别统计选择路径 $L_1$ 和 $L_2$ 的总样本人数，用频率估计概率：

• 计算选择 $L_1$ 和 $L_2$ 所用时间不超过 40 分钟的概率，为甲做出最优路径决策；
• 计算选择 $L_1$ 和 $L_2$ 所用时间不超过 50 分钟的概率，为乙做出最优路径决策。

2. 对 (2)：确定在最佳方案下，甲按时到达的概率 $P_{甲}$ 与乙按时到达的概率 $P_{乙}$。随机变量 $X$ 的可能取值为 $0,1,2$。利用相互独立事件的概率公式计算各取值的概率，列出分布列并求数学期望。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由表中数据可知： 选择路径 $L_1$ 的总人数为： $N_1=6+12+18+12+12=60\text{（人）}$ 选择路径 $L_2$ 的总人数为： $N_2=0+4+16+16+4=40\text{（人）}$

用频率估计概率：

• 甲有 40 分钟时间赶往火车站，即要求所用时间在 40 分钟以内（含 40 分钟）： 若甲选择路径 $L_1$，在允许时间内赶到的概率为： $P(L_1⩽40)=\frac{6+12+18}{60}=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}=0.6$ 若甲选择路径 $L_2$，在允许时间内赶到的概率为： $P(L_2⩽40)=\frac{0+4+16}{40}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}=0.5$ 因为 $0.6>0.5$，所以甲为了最大可能在允许时间内赶到火车站，应选择路径 $L_1$。

• 乙有 50 分钟时间赶往火车站，即要求所用时间在 50 分钟以内（含 50 分钟）： 若乙选择路径 $L_1$，在允许时间内赶到的概率为： $P(L_1⩽50)=\frac{6+12+18+12}{60}=\frac{48}{60}=\frac{4}{5}=0.8$ 若乙选择路径 $L_2$，在允许时间内赶到的概率为： $P(L_2⩽50)=\frac{0+4+16+16}{40}=\frac{36}{40}=\frac{9}{10}=0.9$ 因为 $0.9>0.8$，所以乙为了最大可能在允许时间内赶到火车站，应选择路径 $L_2$。

综上，甲应选择路径 $L_1$，乙应选择路径 $L_2$。

(2) 由 (1) 的选择方案可知： 甲按时赶到火车站的概率为 $P(A)=0.6$，不能按时赶到的概率为 $P(\overline{A})=0.4$； 乙按时赶到火车站的概率为 $P(B)=0.9$，不能按时赶到的概率为 $P(\overline{B})=0.1$。 因为两人各自选择路径及所用时间互不影响，所以事件 $A$ 与 $B$ 相互独立。 $X$ 表示在允许时间内能赶到火车站的人数，则 $X$ 的可能取值为 0, 1, 2。 各个取值的概率为： $P(X=0)=P(\overline{A})P(\overline{B})=0.4\times 0.1=0.04$ $P(X=1)=P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)=0.6\times 0.1+0.4\times 0.9=0.06+0.36=0.42$ $P(X=2)=P(A)P(B)=0.6\times 0.9=0.54$ （检验：$0.04+0.42+0.54=1$）。

所以 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2
$P$	0.04	0.42	0.54

数学期望为： $EX=0\times 0.04+1\times 0.42+2\times 0.54=0.42+1.08=1.5$ （亦可由期望的线性性质求解：$EX=P(A)+P(B)=0.6+0.9=1.5$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：频数分布统计、古典概率估计、相互独立事件、两点分布与离散型随机变量分布列和期望。
• 核心方法：
• 决策前务必先算全样本总量（$L_1$ 为 60 人，$L_2$ 为 40 人）；
• 算期望时利用期望的线性性质 $E(X_1+X_2)=E{X}_1+E{X}_2$ 验算，准确迅速。
• 避坑指南：两条路径的总调查人数不同（60 人与 40 人），切忌只看人数总和比大小，必须除以各自总人数化为频率/概率后再比较大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的运筹与统计决策模型，源自现实生活中通勤出行路径的时间可靠度分析。
• 结论推广：对任意两两独立的伯努利试验（发生概率分别为 $p_1,p_2,\dots ,p_n$），成功总次数的期望恒满足 $EX={\sum }_{i=1}^n{p}_i$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-19 解-相互独立事件的概率乘法公式
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-安徽卷理-17 解-相互独立事件的概率