2012-上海卷文-03 填-二阶行列式与三角函数周期

本题导读

本题考查二阶行列式的展开，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 函数 $f(x)=\left|\begin{array}{cc}\sin x& 2\\ -1& \cos x\end{array}\right|$ 的最小正周期是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$f(x)=\sin x\cos x+2=\frac{1}{2}\sin 2x+2$，最小正周期为 $\pi$。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

按二阶行列式的对角线法则：$f(x)=\sin x\cos x-2\times (-1)=\sin x\cos x+2$。

由二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，得 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+2$。

故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$（常数 $2$ 不影响周期）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二阶行列式的展开法则；二倍角公式；三角函数的周期

核心方法：行列式化多项式 → 降幂化归为 $A\sin (\omega x+\phi )+C$ → 读周期

避坑指南：行列式展开是 $ad-bc$，主对角线乘积在前；常数项不改变周期，别把 $T$ 算成 $2\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：上海卷特色的行列式与三角综合入口题，与 2013 年上海卷文第 4 题、2015 年上海卷文第 5 题同族。

结论推广：$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$；$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$。

方法推广：含行列式或矩阵的三角题先展开成普通解析式，再按 $\omega$ 读周期。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-04 填-二阶行列式
• 2015-上海卷文-05 填-增广矩阵
• 2014-上海卷文-01 填-三角函数周期