2014-上海卷文-01 填-三角函数周期

本题导读

考查三角恒等变换与周期。把 ${\cos }^{2}2x$ 降幂，化成 $A\cos \omega x+B$ 的标准形式后直接读周期。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 函数 $y=1-2{\cos }^{2}2x$ 的最小正周期是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 看到 ${\cos }^{2}2x$（偶次幂），用降幂公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$，这里 $\theta =2x$。
2. 整理成 $-A\cos 4x$ 型，读出 $\omega$。
3. 套 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由降幂公式

$2{\cos }^{2}2x=1+\cos 4x,$

故

$y=1-(1+\cos 4x)=-\cos 4x.$

这里 $\omega =4$，所以最小正周期

$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角（降幂）公式；三角函数的最小正周期。

2. 核心方法：“降幂 → 化为 $A\cos (\omega x)+B$ → 读 $\omega$ 求周期”三步走。

3. 避坑指南：${\cos }^{2}2x$ 的”角”是 $2x$，降幂后角度翻倍成 $4x$，故 $\omega =4$ 而不是 $2$；直接把周期写成 $\pi$ 是最常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 上海卷填空首题常年考”三角化简 + 求周期”，是定位送分题。

2. 结论推广: 对 $y=a{\cos }^2\omega x+b$ 型，化简后恒为 $\frac{a}{2}\cos 2\omega x+\text{常数}$，周期 $\frac{\pi }{|\omega |}$。

3. 方法推广: “偶次幂必降幂”是处理一切三角周期与最值问题的第一步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-01 填-三角函数周期
• 2014-天津卷文-08 单-三角周期