2009-重庆卷文-06 单-三角值比较

本题导读

考查诱导公式与正弦单调性。三者化为 $\sin 11^{\circ },\sin 12^{\circ },\sin 80^{\circ }$，由 $11^{\circ }<12^{\circ }<80^{\circ }$ 得 $\sin 11^{\circ }<\sin 168^{\circ }<\cos 10^{\circ }$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 下列关系式中正确的是 ()

A. $\sin 11^{\circ }<\cos 10^{\circ }<\sin 168^{\circ }$　　B. $\sin 168^{\circ }<\sin 11^{\circ }<\cos 10^{\circ }$　　C. $\sin 11^{\circ }<\sin 168^{\circ }<\cos 10^{\circ }$　　D. $\sin 168^{\circ }<\cos 10^{\circ }<\sin 11^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. $\sin 168^{\circ }=\sin (180^{\circ }-12^{\circ })=\sin 12^{\circ }$。
2. $\cos 10^{\circ }=\sin 80^{\circ }$。
3. 在 $(0^{\circ },90^{\circ })$ 内正弦单调递增，$11^{\circ }<12^{\circ }<80^{\circ }$， 故 $\sin 11^{\circ }<\sin 168^{\circ }<\cos 10^{\circ }$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $168^{\circ }=180^{\circ }-12^{\circ }$，所以 $\sin 168^{\circ }=\sin 12^{\circ }$。 又 $\cos 10^{\circ }=\sin 80^{\circ }$。 在 $(0^{\circ },90^{\circ })$ 内正弦函数单调递增，且 $11^{\circ }<12^{\circ }<80^{\circ }$， 因此 $\sin 11^{\circ }<\sin 168^{\circ }<\cos 10^{\circ }$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式化同名再比大小

核心方法：$\sin 168^{\circ }=\sin 12^{\circ }$，$\cos 10^{\circ }=\sin 80^{\circ }$

避坑指南：统一化成正弦后用 $(0^{\circ },90^{\circ })$ 上的单调性；$168^{\circ }$ 不化简就无从比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角值比较三步：诱导公式化锐角、余弦化正弦、单调性定序。

结论推广：$\cos \alpha =\sin (90^{\circ }-\alpha )$，互余转化是关键。

方法推广：也可用计算器估值自检：$\sin 11^{\circ }\approx 0.19$，$\sin 12^{\circ }\approx 0.21$，$\cos 10^{\circ }\approx 0.98$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-01 单-诱导公式求值
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2012-上海卷文-03 填-二阶行列式与三角函数周期