2012-上海卷文-13 填-折线函数与定积分面积

本题导读

本题考查分段函数的图象，以及定积分。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 已知函数 $y=f(x)$ 的图象是折线段 $ABC$，其中 $A(0,0)$，$B\left(\frac{1}{2},1\right)$，$C(1,0)$. 函数 $y=xf(x)$（$0⩽x⩽1$）的图象与 $x$ 轴围成的图形的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$y=xf(x)$ 在 $[0,\frac{1}{2}]$ 为 $2x^2$、在 $[\frac{1}{2},1]$ 为 $2x-2x^2$，面积 $=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

折线段 $AB$：$f(x)=2x$（$0⩽x⩽\frac{1}{2}$）；折线段 $BC$：$f(x)=2-2x$（$\frac{1}{2}⩽x⩽1$）。

于是 $y=xf(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2,& 0⩽x⩽\frac{1}{2},\\ 2x-2x^2,& \frac{1}{2}⩽x⩽1.\end{array}$

面积 $S={\int }_0^{\frac{1}{2}}2x^{2}dx+{\int }_{\frac{1}{2}}^1(2x-2x^2)dx=\frac{1}{12}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$。

（第二段亦可按”抛物线弓形”用直线 $y=x$ 下方割补求，结果一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数解析式；定积分求曲边梯形面积

核心方法：先由折线定 $f$，再写 $xf(x)$ 的两段表达式，分段积分

避坑指南：第二段 $f(x)=2-2x$ 是从 $B$ 到 $C$ 的斜率 $-2$ 的线段，别把截距写错；$y=xf(x)$ 在 $x=0$ 与 $x=1$ 处都为 $0$，图象是”双拱”中的右半拱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：折线函数与定积分结合题，与 2013 年上海卷文第 22 题、2014 年上海卷文第 9 题同族。

结论推广：折线（一次函数）乘 $x$ 后成为二次函数，面积用 $\int x(kx+b)dx$ 分段计算。

方法推广：图象面积题三步：写分段解析式 → 定积分限 → 逐段积分求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-09 填-分段函数最值
• 2013-上海卷文-22 解-递推数列形态
• 2014-天津卷文-14 填-分段零点