2014-天津卷文-14 填-分段零点

本题导读

把 $y=f(x)-a|x|=0$ 化为 $f(x)=a|x|$，分 $x>0$ 与 $x⩽0$ 两段数交点。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}|x^2+5x+4|,& x⩽0,\\ 2|x-2|,& x>0.\end{array}$ 若函数 $y=f(x)-a|x|$ 恰有 $4$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围为　　　.

🔍【思路分析】

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$x>0$ 段最多给 $2$ 个交点，$x⩽0$ 段的交点个数在 $a=1$ 处由 $4$ 降为 $2$，故须 $1<a<2$。

✅【答案】

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$(1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=f(x)-a|x|=0$ 得 $f(x)=a|x|$；又 $f(0)=4\ne 0$，故 $x=0$ 不是零点。 (1) 当 $x>0$ 时，$f(x)=2|x-2|$，方程即 $2|x-2|=ax$。 　若 $0<x<2$，则 $2(2-x)=ax$，得 $x=\frac{4}{a+2}\in (0,2)$，对任意 $a>0$ 恰有一解； 　若 $x>2$，则 $2(x-2)=ax$，得 $x=\frac{4}{2-a}$，仅当 $a<2$ 时有一解。 (2) 当 $x⩽0$ 时，$a|x|=-ax⩾0$。 　方程 $x^2+5x+4=-ax$ 即 $x^2+(5+a)x+4=0$：在 $x=-4$ 处左端为 $-4a<0$、在 $x\to -\infty$ 时趋于 $+\infty$，故有一根小于 $-4$；在 $x=-1$ 处左端为 $-a<0$、在 $x=0$ 处为 $4>0$，故另有一根在 $(-1,0)$ 内。对任意 $a>0$ 都恰有 $2$ 解。 　方程 $-(x^2+5x+4)=-ax$ 即 $x^2+(5-a)x+4=0$：判别式 $(5-a{)}^2-16$。 　　当 $a<1$ 时，两根均落在 $(-4,-1)$ 内，给出 $2$ 解；当 $a=1$ 时，为一重根 $x=-2$，给出 $1$ 解；当 $a>1$ 时无解。 所以 $x⩽0$ 上的零点个数为：$a<1$ 时 $4$ 个，$a=1$ 时 $3$ 个，$a>1$ 时 $2$ 个。 综合两段，恰有 $4$ 个零点须 $1<a<2$，即 $a\in (1,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的零点个数

2. 核心方法：图象法（含绝对值）分档讨论

3. 避坑指南：$x=0$ 处 $f(0)=4\ne 0$，不是零点；$x⩽0$ 时要分 $x^2+5x+4$ 的正负去绝对值，得到两支方程，解的个数随 $a$ 在 $a=1$ 前后发生变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分段函数、含绝对值函数的图象与方程的根。

2. 结论推广: $y=f(x)-a|x|=0⟺f(x)=a|x|$，零点个数 $=$ 两图象交点个数；$|x^2+5x+4|=0$ 的两根为 $x=-1$、$x=-4$。

3. 方法推广: 零点个数问题一律“化方程为两图象交点”，再按参数分档数交点，分档点取在相切或过特殊点的位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-06 单-函数零点
• 2014-福建卷文-15 填-函数零点