2012-上海卷文-22 解-双曲线综合与垂直证明

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与基本量。核心在于公式法、联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C:2x^2-y^2=1$.

(1)设 $F$ 是 $C$ 的左焦点，$M$ 是 $C$ 右支上一点. 若 $|MF|=2\sqrt{2}$，求点 $M$ 的坐标；

(2)过 $C$ 的左顶点作 $C$ 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；

(3)设斜率为 $k$（$|k|<\sqrt{2}$）的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点. 若 $l$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，求证：$OP\perp OQ$.

🔍【思路分析】

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$M=\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\pm \sqrt{2}\right)$；平行四边形面积 $\frac{\sqrt{2}}{4}$；由 $m^2=1+k^2$ 与韦达定理得 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$。

✅【答案】

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(1)$M=\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\pm \sqrt{2}\right)$；(2)$\frac{\sqrt{2}}{4}$；(3)见解析

✍【详细解析】

Abstract

$C$ 即 $\frac{x^2}{\frac{1}{2}}-y^2=1$，$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$b=1$，$c=\sqrt{\frac{1}{2}+1}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，离心率 $e=\sqrt{3}$。

（1）右支上的点 $M(x,y)$ 到左焦点的距离 $|MF|=ex+a=\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，解得 $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$。

代入 $y^2=2x^2-1=3-1=2$，得 $y=\pm \sqrt{2}$。故 $M=\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\pm \sqrt{2}\right)$。

（2）左顶点 $A\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$，渐近线 $y=\pm \sqrt{2}x$。过 $A$ 作两渐近线的平行线，与两渐近线围成平行四边形，四个顶点为 $A\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$、$\left(-\frac{\sqrt{2}}{4},\pm \frac{1}{2}\right)$、$O(0,0)$。

其对角线长分别为 $|AO|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 与 $1$，面积 $=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times 1=\frac{\sqrt{2}}{4}$。

（3）设 $l:y=kx+m$，与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，则圆心到 $l$ 的距离为 $1$，即 $m^2=1+k^2$。

代入 $C$：$2x^2-(kx+m{)}^2=1$，即 $(2-k^2)x^2-2kmx-(m^2+1)=0$。由 $|k|<\sqrt{2}$ 知 $2-k^2>0$，且判别式大于零（$l$ 与 $C$ 交于两点）。

设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\frac{2km}{2-k^2}$，$x_1{x}_2=-\frac{m^2+1}{2-k^2}$。

$y_1{y}_2=(k{x}_1+m)(k{x}_2+m)=k^2{x}_1{x}_2+km(x_1+x_2)+m^2$。

于是 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{(k^2+1)x_1{x}_2+km(x_1+x_2)+m^2}{1}=\frac{-(k^2+1)(m^2+1)+2k^2{m}^2+m^2(2-k^2)}{2-k^2}=\frac{m^2-k^2-1}{2-k^2}$。

由 $m^2=1+k^2$ 得分子为零，故 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$，即 $OP\perp OQ$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的基本量与焦半径；渐近线；直线与圆相切的条件；韦达定理与向量垂直

核心方法：焦半径公式定位；对角线求平行四边形面积；联立消元后用相切条件化简数量积

避坑指南：右支上的点到左焦点距离是 $ex+a$；直线与圆相切给的是 $m^2=1+k^2$（不是 $|m|=1$）；验证垂直要算 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$ 的整体表达式，逐项化简别漏分母。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线综合解答题，与 2013 年上海卷文第 23 题、2015 年上海卷文第 22 题同族。

结论推广：双曲线 $2x^2-y^2=1$ 中 $e=\sqrt{3}$；切线纵截距满足 $m^2=1+k^2$ 时，与 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的交点向量数量积可整体消参。

方法推广：圆锥曲线证明题套路：设线 → 联立 → 韦达 → 把目标量表示成系数式 → 用相切等条件代入化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-23 解-双曲线新定义
• 2015-上海卷文-22 解-椭圆综合
• 2014-上海卷文-22 解-曲线分隔线