2012-上海卷理-01 填-复数除法

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数分母实数化的处理规范。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 计算：$\frac{3-i}{1+i}=$ $\underline{}$.（$i$ 为虚数单位）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别题型：分子与分母都是复数的一次式，属于标准的复数除法。
2. 确定手段：分子分母同乘分母的共轭复数 $1-i$，把分母化为实数。
3. 整理结果：展开分子，代入 $i^2=-1$，再分离实部与虚部。

✅【答案】

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$1-2i$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分子分母同乘共轭复数 $\frac{3-i}{1+i}=\frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

第二步：化简分母 分母为 $(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2$。

第三步：展开分子并整理 $(3-i)(1-i)=3-3i-i+i^2=3-4i-1=2-4i$ 于是 $\frac{3-i}{1+i}=\frac{2-4i}{2}=1-2i$

故填入答案为：$1-2i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的四则运算，重点是除法中的分母实数化。

核心方法：“共轭相乘”。除以 $a+bi$ 等价于同乘其共轭 $a-bi$，把分母化为 $a^2+b^2$。

避坑指南：- 分母应为 $(1+i)(1-i)=1^2+1^2=2$，不要与 $(1+i{)}^2=2i$ 混淆。 - 展开分子时须代入 $i^2=-1$，漏掉这一步会把虚部算成 $-2i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的代数形式四则运算、共轭复数的性质 $z\overline{z}=|z{|}^2$。

结论推广：一般地 $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$，可直接套用。

方法推广：凡遇分式形的复数化简，一律先乘以分母的共轭复数；若分子含高次幂，可先利用 $i$ 的周期性降次。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数 类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-01 填-复数除法运算

• 2009-山东卷文-02 单-复数除法

• 2014-四川卷文-12 填-复数除法