2012-上海卷文-01 填-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 计算：$\frac{3-i}{1+i}=$ $\underline{}$（$i$ 为虚数单位）.

🔍【思路分析】

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分子分母同乘 $1-i$，得 $\frac{2-4i}{2}=1-2i$。

✅【答案】

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$1-2i$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{3-i}{1+i}=\frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3-3i-i+i^2}{2}=\frac{2-4i}{2}=1-2i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法（分母实数化）

核心方法：分子分母同乘共轭 $1-i$，展开合并

避坑指南：$(1+i)(1-i)=2$；$-3i-i=-4i$ 别漏掉 $i\cdot (-i)$ 产生的实部 $-1$（即 $i^2=-1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法入口题，与 2014 年上海卷文第 2 题、2015 年上海卷文第 3 题同族。

结论推广：一般地，$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。

方法推广：复数除法先分母实数化，再合并实虚部。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-02 填-共轭复数
• 2015-上海卷文-03 填-共轭复数
• 2013-上海卷文-03 填-纯虚数