2012-上海卷理-02 填-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及一元一次不等式与绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 若集合 $A=\{x\mid 2x+1>0\}$，$B=\{x\mid |x-1|<2\}$，则 $A\cap B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $A$：解不等式 $2x+1>0$，得到 $x>-\frac{1}{2}$。
2. 化简集合 $B$：利用 $|x-1|<2⟺-2<x-1<2$ 脱去绝对值。
3. 取公共部分：把两个区间画在同一条数轴上，取它们的重叠段。

✅【答案】

点击查看答案

$(-\frac{1}{2},3)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求集合 $A$ 由 $2x+1>0$ 得 $2x>-1$，即 $x>-\frac{1}{2}$，故 $A=\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$

第二步：求集合 $B$ 由 $|x-1|<2$ 得 $-2<x-1<2$，各项同加 $1$ 得 $-1<x<3$，故 $B=(-1,3)$

第三步：求交集 在数轴上，$A$ 的左端点 $-\frac{1}{2}$ 位于 $B$ 的左端点 $-1$ 的右侧，$A$ 向右无限延伸而 $B$ 的右端点为 $3$，因此公共部分为 $A\cap B=\left(-\frac{1}{2},3\right)$

故填入答案为：$\left(-\frac{1}{2},3\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交集运算，以及绝对值不等式的解集写法。

核心方法：“数轴法”。先分别化为区间，再在数轴上取重叠段，端点能否取到由原不等式是否带等号决定。

避坑指南：- 交集的左端点应取两个左端点中更靠右者，切勿把 $\left(-\frac{1}{2},3\right)$ 误写成 $(-1,3)$。 - $|x-1|<2$ 必须写成双侧不等式 $-2<x-1<2$，写成“$x-1<\pm 2$”是无效变形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一元一次不等式的解法、绝对值不等式的等价转化、区间的表示方法。

结论推广：$|x-a|<b(b>0)⟺a-b<x<a+b$；若 $b\le 0$，则该不等式的解集为空集。

方法推广：涉及两个集合求交（或求并）的问题，先把每个集合化成标准区间，再借助数轴处理，既直观又不易漏端点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算 类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-02 填-集合

• 2016-全国卷III理-01 单-集合

• 2013-辽宁卷理-02 单-集合交集