2012-上海卷理-23 解-新定义数列

本题导读

本题考查集合与向量背景下的新定义性质。核心在于归纳法、构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 对于数集 $X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，其中 $0<x_1<x_2<\cdots <x_n$，$n⩾2$，定义向量集 $Y=\{\vec{a}\mid \vec{a}=(s,t),s\in X,t\in X\}$.若对任意 ${\vec{a}}_1\in Y$，存在 ${\vec{a}}_2\in Y$，使得 ${\vec{a}}_1\cdot {\vec{a}}_2=0$，则称 $X$ 具有性质 $P$.例如 $\{-1,1,2\}$ 具有性质 $P$.

(1) 若 $x>2$，且 $\{-1,1,2,x\}$ 具有性质 $P$，求 $x$ 的值；

(2) 若 $X$ 具有性质 $P$，求证：$1\in X$，且当 $x_n>1$ 时，$x_1=1$；

(3) 若 $X$ 具有性质 $P$，且 $x_1=1$，$x_2=q$（$q$ 为常数），求有穷数列 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问穷举验证：由 $(x,x)\cdot (s,t)=0$ 得到 $s=-t$，再由 $(x,2)\cdot (s,t)=0$ 逼出 $x$ 的值。
2. 第二问找必要条件：用最大元素组成的向量 $(x_n,x_n)$ 逼出 $1\in X$，再用 $(x_n,x_1)$ 排除 $x_1<1$ 的可能。
3. 第三问建立结构：先证明任意元素都是 $q$ 的幂，再用相邻元素的间隔论证指数必须连续。

✅【答案】

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(1) $x=4$

(2) 证明见解析

(3) $x_k=q^{k-1}$（$k=1,2,\cdots ,n$）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：第一问——用向量 $(x,2)$ 定位 $x$ 取 ${\vec{a}}_1=(x,2)$，需存在 ${\vec{a}}_2=(s,t)$（$s,t\in \{-1,1,2,x\}$）使 $xs+2t=0$ 按 $s,t$ 的取值分类：若 $s,t$ 同为正数，左边为正，不成立；若 $s=t=-1$，左边为 $-x-2<0$，不成立；若 $t=-1,s>0$，则 $s=\frac{2}{x}\in (0,1)$，而 $X$ 中的正元素为 $1,2,x$，均不小于 $1$，故不成立。 因此只能 $s=-1$，代入得 $-x+2t=0$，即 $t=\frac{x}{2}$。由 $t\in \{1,2,x\}$ 逐一排查：$t=1$ 给出 $x=2$（不满足 $x>2$），$t=x$ 给出 $x=0$（舍去），故只有 $t=2$，于是 $-x+2\times 2=0⟹x=4$ 验证 $x=4$：此时 $X=\{-1,1,2,4\}$，逐项检验 $Y$ 中 $16$ 个向量，如 $(4,4)$ 配 $(1,-1)$、$(4,2)$ 配 $(-1,2)$、$(4,1)$ 配 $(-1,4)$、$(4,-1)$ 配 $(1,4)$、$(2,1)$ 配 $(-1,2)$、$(1,2)$ 配 $(2,-1)$ 等，均能使数量积为零，故 $X$ 具有性质 $P$，$x=4$ 符合题意。

第二步：第二问——证明 $1\in X$ 取 ${\vec{a}}_1=(x_n,x_n)$，需存在 ${\vec{a}}_2=(s,t)$ 使 $x_n(s+t)=0$，即 $s=-t$。 由于 $X$ 中唯一的负元素是 $-1$，另一个数必须为正且与它互为相反数，故必有 $\{s,t\}=\{-1,1\}$，从而 $1\in X$。

第三步：第二问——证明 $x_n>1$ 时 $x_1=1$ 由 $1\in X$ 且 $x_1$ 是 $X$ 中最小的正元素，得 $x_1\le 1$。下面证明 $x_1\ge 1$。 取 ${\vec{a}}_1=(x_n,x_1)$，需 $x_{n}s+x_{1}t=0$。若取 $s>0,t=-1$，则 $s=\frac{x_1}{x_n}$；由 $x_n>1$ 知 $0<\frac{x_1}{x_n}<x_1$，与 $x_1$ 是最小正元素矛盾，故此路不通。 由于 $s,t$ 不可能同为正（和为正）或同为 $-1$（和为负），只能取 $s=-1,t>0$，此时 $t=\frac{x_n}{x_1}\in X$。 若 $x_1<1$，则 $\frac{x_n}{x_1}>x_n$，与 $x_n$ 是 $X$ 中最大元素矛盾。故 $x_1\ge 1$。 结合 $x_1\le 1$，得 $x_1=1$。

第四步：第三问——建立“两元素之商仍在 $X$ 中”的性质 任取下标 $p>q$，其中 $1\le q<p\le n$，取 ${\vec{a}}_1=(x_p,x_q)$，需 $x_{p}s+x_{q}t=0$。若取 $s>0,t=-1$，则 $s=\frac{x_q}{x_p}\in (0,1)$，不属于 $X$（$X$ 中最小的正元素为 $x_1=1$）；$s,t$ 同为正或同为 $-1$ 同样不可能。故只能 $s=-1$，于是 $t=\frac{x_p}{x_q}\in X$ 即：对任意下标 $p>q$，都有 $\frac{x_p}{x_q}\in X$。

第五步：第三问——证明每个元素都是 $q$ 的幂 对任意下标 $j\ge 3$，在上式中取 $p=j$、$q=2$，得 $u_1=\frac{x_j}{x_2}=\frac{x_j}{q}\in X$。若 $u_1\notin \{1,q\}$，则 $u_1>q$，它必等于某个下标不小于 $3$ 的元素，可继续取 $u_2=\frac{u_1}{q}\in X$，如此得到严格递减的正数链，必定终止；终止值只能落在 $\{1,q\}$ 中（小于 $q$ 的正元素只有 $1$）。于是 $x_j=q^m$ 或 $x_j=q^{m+1}$，即 $x_j$ 必为 $q$ 的非负整数次幂。 记 $x_j=q^{e_j}$，则 $0=e_1<e_2=1<e_3<\cdots <e_n$，各 $e_j$ 均为整数。

第六步：第三问——证明指数连续 下面用归纳法证明 $e_k=k-1$。已知 $e_1=0$，$e_2=1$。 设对某个 $k\ge 2$ 已有 $e_j=j-1(1\le j\le k)$。因为 $e_{k+1}>e_k\ge 1$，由第四步的结论取 $\frac{x_{k+1}}{x_2}$，得 $e_{k+1}-1$ 也是某个元素的指数。 若 $e_{k+1}-1>e_k$，则该值严格介于相邻的两个指数 $e_k$ 与 $e_{k+1}$ 之间，与相邻关系矛盾；故 $e_{k+1}-1\le e_k=k-1$，即 $e_{k+1}\le k$。 又 $e_{k+1}>e_k=k-1$，故 $e_{k+1}=k$。归纳完成，即 $e_k=k-1(k=1,2,\cdots ,n)$ 代入 $x_k=q^{e_k}$，得 $x_k=q^{k-1}(k=1,2,\cdots ,n)$

综上，(1) $x=4$；(2) 结论成立（$1\in X$，且当 $x_n>1$ 时 $x_1=1$）；(3) 通项公式为 $x_k=q^{k-1}$（$k=1,2,\cdots ,n$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义信息的理解与转化、向量数量积为零的代数翻译、数列通项的归纳求解。

核心方法：“极端元素法”（反复使用最大元素 $x_n$ 与最小正元素 $x_1$ 组成的向量逼出必要条件）与**“归纳法”**（把有理数幂的结构转化为指数的连续性问题）。

避坑指南：- 第二问中“$x_1=1$”依赖于 $x_n>1$ 这一前提，解题时应明确指出该条件用在何处（即排除 $s=\frac{x_1}{x_n}$ 这一步）。 - 第三问不可只对前几项归纳猜测，必须证明“每个元素都是 $q$ 的幂”，否则指数无从定义。 - 性质 $P$ 要求对任意 ${\vec{a}}_1\in Y$ 都存在对应的 ${\vec{a}}_2$，验证时不能只对个别向量检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积的坐标表示、集合的基本性质、等比数列的通项形式。

结论推广：集合 $X=\{-1,1,q,q^2,\cdots ,q^{n-1}\}$（$q>1$）恒具有性质 $P$：对任意 $(q^i,q^j)$，取 $(1,-1)$ 或 $(-1,q^{j-i})$ 即可使数量积为零。

方法推广：面对新定义问题，标准流程是“先把定义翻译成代数条件 $\to$ 用极端元素（最大、最小）逼出必要条件 $\to$ 再验证该条件充分”，本题完整地体现了这一套路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略 类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-23 解-控制数列新定义

• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义

• 2014-天津卷文-20 解-集合新定义