2012-北京卷文-10 填-等差数列基本量

本题导读

本题考查等差数列的基本量，以及前项和公式。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_1=\frac{1}{2}$，$S_2=a_3$，则 $a_2=$ $\underline{}$；$S_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$d=\frac{1}{2}$，$a_2=1$，$S_n=\frac{n(n+1)}{4}$。

✅【答案】

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$1$；$S_n=\frac{n(n+1)}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

设公差为 $d$。$S_2=a_1+a_2=a_3$，即 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+d=\frac{1}{2}+2d$，得 $d=\frac{1}{2}$。

故 $a_2=1$，$a_n=\frac{1}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac{n}{2}$。

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n\left(\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\right)}{2}=\frac{n(n+1)}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的通项与前 $n$ 项和；基本量运算

核心方法：设公差 → 由和与项的关系列方程 → 代公式

避坑指南：$S_2=a_3$ 是”前两项和等于第三项”，展开时 $a_1$ 别漏加；求 $S_n$ 用 $\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 比展开 $n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 更不易错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本量填空，与 2013 年上海卷文第 2 题、2013 年安徽卷文第 7 题同族。

结论推广：一般地，$S_2=a_3$ 即 $2a_1+d=a_1+2d$，解得 $d=a_1$；此时 $a_n=n{a}_1$，$S_n=\frac{n(n+1)}{2}{a}_1$。

方法推广：等差数列两个未知量（$a_1,d$）配两个条件，方程思想直取。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-02 填-等差数列性质
• 2013-安徽卷文-07 单-等差数列基本量