2012-重庆卷文-16 解-等差数列通项与等比

本题导读

本题考查等差数列的通项与前项和。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_1+a_3=8$，$a_2+a_4=12$.

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_1$，$a_k$，$a_{k+2}$ 成等比数列，求正整数 $k$ 的值.

🔍【思路分析】

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两式相减得 $2d=4$，$d=2$，$a_1=2$，$a_n=2n$；等比条件 $a_k^2=a_1{a}_{k+2}$ 化为 $k^2-k-2=0$，取正根 $k=2$。

✅【答案】

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(1)$a_n=2n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）；(2)$k=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公差为 $d$。

$a_1+a_3=2a_1+2d=8$，即 $a_1+d=4$；

$a_2+a_4=2a_1+4d=12$，即 $a_1+2d=6$。

两式相减得 $d=2$，从而 $a_1=2$。

所以 $a_n=2+2(n-1)=2n$。

（2）$a_1=2$，$a_k=2k$，$a_{k+2}=2k+4$。

由等比数列的定义：$a_k^2=a_1{a}_{k+2}$，即 $(2k{)}^2=2(2k+4)$。

化简得 $4k^2=4k+8$，即 $k^2-k-2=0$，$(k-2)(k+1)=0$。

因 $k$ 为正整数，故 $k=2$（此时 $2$，$4$，$8$ 确成等比数列，公比 $2$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量的方程思想；等比中项 $b^2=ac$

核心方法：“相邻两组和相减”直接得公差；等比条件一律写成 $a_k^2=a_1{a}_{k+2}$

避坑指南：解出 $k=-1$ 必须舍去（$k$ 为正整数），求出后要回头验证三项确实成等比（首项为 $0$ 时会出现假等比，本题 $a_1=2\ne 0$ 无此虞）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本量 + 等比条件综合题，与 2012 年北京卷文第 10 题、2013 年江西卷理第 3 题同族。

结论推广：$a_m+a_n=a_p+a_q$（$m+n=p+q$）是等差数列的常用性质；本题 $a_1+a_3=2a_2$、$a_2+a_4=2a_3$，也可先求 $a_2$，$a_3$。

方法推广：数列解答题第一问通常”解方程组定基本量”，第二问把附加条件翻译成方程，解完务必检验约束（正整数、非零等）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-10 填-等差数列基本量
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项