2012-北京卷文-11 填-正弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及解三角形。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，若 $a=3$，$b=\sqrt{3}$，$\angle A=\frac{\pi }{3}$，则 $\angle C$ 的大小为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin B=\frac{1}{2}$，由 $a>b$ 知 $B=\frac{\pi }{6}$，$C=\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$：$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{1}{2}$。

由 $a>b$ 知 $A>B$，故 $B=\frac{\pi }{6}$（舍去钝角解 $B=\frac{5\pi }{6}$）。

$C=\pi -A-B=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理；三角形解的个数判定

核心方法：正弦定理求角 → 大边对大角筛选 → 内角和收口

避坑指南：$\sin B=\frac{1}{2}$ 有两个解，必须用 $a>b\Rightarrow A>B$ 排除 $B=\frac{5\pi }{6}$（此时 $A+B>\pi$，三角形不存在）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理解三角形填空，与 2013 年北京卷文第 5 题、2013 年湖南卷文第 5 题同族。

结论推广：一般地，已知两边及其中一边的对角（SSA）时，先比较边长定角的范围，再决定取一个解还是两个解。

方法推广：SSA 型解三角形：正弦定理求角 → 大边对大角筛选 → 内角和收口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-05 单-正弦定理
• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角