2012-北京卷理-01 单-集合

本题导读

本题考查交集，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 已知集合 $A=\{x\in \mathbb{R}\mid 3x+2>0\}$，$B=\{x\in \mathbb{R}\mid (x+1)(x-3)>0\}$，则 $A\cap B=$()

A. $(-\infty ,-1)$　　　B. $\left(-1,-\frac{2}{3}\right)$　　　C. $\left(-\frac{2}{3},3\right)$　　　D. $(3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解一元一次不等式化简集合 $A$。
2. 求解一元二次不等式化简集合 $B$。
3. 利用数轴求两个集合解集的公共部分，确定交集 $A\cap B$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简集合 $A$ 与 $B$

• 化简集合 $A$： 由 $3x+2>0$ 得： $3x>-2⟹x>-\frac{2}{3}$ 即 $A=\left(-\frac{2}{3},+\infty \right)$。

• 化简集合 $B$： 由 $(x+1)(x-3)>0$ 得： $x<-1\text{或}x>3$ 即 $B=(-\infty ,-1)\cup (3,+\infty )$。

第二步：求交集 $A\cap B$

交集 $A\cap B$ 为集合 $A$ 与集合 $B$ 的公共部分。 将两个集合的取值范围表示在数轴上：

比较各临界点的大小关系，显然 $-1<-\frac{2}{3}<3$。

• 当 $x<-1$ 时，不满足 $x>-\frac{2}{3}$；
• 当 $-\frac{2}{3}<x⩽3$ 时，满足集合 $A$ 的条件，但不满足集合 $B$ 的条件；
• 当 $x>3$ 时，由于 $3>-\frac{2}{3}$，条件 $x>3$ 与 $x>-\frac{2}{3}$ 同时满足。

因此，公共部分为 $x>3$，即 $(3,+\infty )$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式解集的区间判定；集合交集取公共部分的代数运算。
2. 核心方法：数轴分析法。
3. 避坑指南：

• 临界点在数轴上的相对位置需准确判断。由于 $\left|-\frac{2}{3}\right|<|-1|$，在负半轴上 $-\frac{2}{3}$ 位于 $-1$ 的右侧。若位置颠倒，易错选 C。
• 严格区分一元二次不等式中“$>$”号与“$<$”号的解集形式，本题为“$>$”号，应取两根外侧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第1题，属于集合与不等式结合的基础题型。其构型直接考查教材中集合交集与一元二次不等式解法的核心概念。
2. 结论推广： 已知集合 $A=(M,+\infty )$， $B=(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$，且满足 $x_1⩽M⩽x_2$。 根据数轴包含关系，其交集满足： $A\cap B=(x_2,+\infty )$ 本题中 $M=-\frac{2}{3}$， $x_1=-1$， $x_2=3$，满足 $-1⩽-\frac{2}{3}⩽3$，故直接得出交集为 $(3,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系 类题演练 (Links)

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