2014-新课标II卷理-01 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的交集运算。解题关键是先解出一元二次不等式，确定集合 $N$ 的范围，再找出集合 $M$ 与集合 $N$ 的共同元素。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设集合 $M=\{0,1,2\}$，$N=\{x|x^2-3x+2\le 0\}$，则 $M\cap N=$ ()

A. $\{1\}$　　　　　　B. $\{2\}$　　　　　　C. $\{0,1\}$　　　　　　D. $\{1,2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解不等式确定集合 $N$：利用因式分解法解一元二次不等式 $x^2-3x+2\le 0$，得到 $x$ 的取值范围。
2. 执行交集运算：根据交集定义 $M\cap N=\{x|x\in M\text{ 且 }x\in N\}$，从集合 $M$ 的元素中筛选出满足集合 $N$ 范围的元素。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定集合 $N$ 的范围 对于一元二次不等式 $x^2-3x+2\le 0$： 利用因式分解得：$(x-1)(x-2)\le 0$。 解得：$1\le x\le 2$。 所以，集合 $N=[1,2]$。

第二步：求 $M\cap N$ 已知 $M=\{0,1,2\}$。

• 当 $x=0$ 时，$0\notin [1,2]$；
• 当 $x=1$ 时，$1\in [1,2]$；
• 当 $x=2$ 时，$2\in [1,2]$。 因此，$M\cap N=\{1,2\}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交集的定义及一元二次不等式的解法。 2. 易错提醒：注意不等式符号。如果是“$\le$”，边界值 $1$ 和 $2$ 均包含在内；如果是“$<$”，则不含边界。 3. 方法总结：处理集合运算类题目，通常先将描述法表示的集合（如 $N$）化为简明的列举法或区间形式。

2. 核心方法：因式分解解一元二次不等式确定 $N$，再按交集定义筛选 $M$ 中公共元素。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 集合交集的定义及一元二次不等式的解法。 2. 易错提醒：注意不等式符号。如果是“$\le$”，边界值 $1$ 和 $2$ 均包含在内；如果是“$<$”，则不含边界。 3. 方法总结：处理集合运算类题目，通常先将描述法表示的集合（如 $N$）化为简明的列举法或区间形式。

2. 结论推广: 求交集取两集合范围的重叠部分（即较小的上限）。

3. 方法推广: 面对更复杂的集合，如涉及对数不等式或分式不等式，步骤相同：先化简集合，后执行运算。 3. 知识关联: 集合的交、并、补运算是高考数学的第一题常客，属于必拿分的“送分题”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集