本题导读
本题考查平面向量数量积的运算律，以及平面向量数量积的几何意义。
📌【题干】
Question
（2012年北京卷(理)） 已知正方形 的边长为 ，点 是 边上的动点．则 的值为 ； 的最大值为 ．
🔍【思路分析】
破题导航
- 解法一：基底正交分解法（代数通性）：
- 选取相互垂直的向量 与 作为一组标准正交基底。
- 根据向量加法的三角形法则，将动向量 分解为已知基底的线性组合：。
- 根据正方形的平行性质，将向量 转化为与其相等的对边向量 。
- 代入数量积展开，利用基底相互垂直则数量积为 0 的性质消除未知变量 。
- 解法二：几何射影法（直观速算）：
- 数量积 的几何意义为 在 方向上的投影长度与 模长的乘积。
- 将 替换为 ，考查 在 方向上的投影。由于 在与 垂直的直线 上运动， 到 的射影永远落在点 。
- 因而 在 上的几何射影向量恒为 ，与动点 的具体位置完全解耦。
✅【答案】
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；
✍【详细解析】
Abstract
解法一：基底正交分解法
在正方形 中，由于 ，我们选取 与 作为标准平面正交基底。 根据已知条件，正方形边长为 ，故有：
由向量加法的三角形法则，将动向量 沿着基底方向进行拆分：
根据正方形对边平行且相等的几何性质，向量 与 的模长相等且方向完全一致。因此满足向量相等条件：
将 ① ② 两式代入待求的数量积代数式中，并运用平面向量数量积的分配律展开：
由于点 落在 边上，向量 与向量 共线。 又因为在正方形中 ，所以无论动点 在 边上如何平移，向量 始终与基底 保持严格的垂直几何关系。 根据垂直向量数量积为 0 的性质：
将该零值项代回 ③ 式中：
解法二：几何射影法
根据平面向量数量积的几何投影定义， 等于向量 在向量 方向上的投影数量与 的乘积。
因为 ，原式可转化为：
将向量 向向量 所在的直线进行垂直投影。
- 起点 的投影为其自身；
- 终点 落在与 垂直的边 上，其向 所在直线作垂线，垂足必然精确落在正方形的顶点 处。
因此，动向量 在 方向上的投影向量恒等于固定向量 。 根据投影乘积公式：
故答案为：。
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💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：正方形中对边不变量向量的等价替换；平行向量与垂直向量的代数特征；数量积运算律的展开。
- 核心方法：正交基底法（最不易出错的通性通法）；几何投影法（快捷技巧）。
- 避坑指南：
- 建立向量关系时注意字母顺序。如 方向向下，等价于 ，若粗心错写成 ，则会导致计算结果出现负号错误。
- 看到“动点”切忌产生畏难心理，通过基底分解后，动点相关的交叉乘积项往往会因为垂直关系自动消除。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第13题，是一道构思精巧的向量平面几何基础题，旨在考查考生将代数拆分与几何图形空间投影相结合的能力。
- 结论推广： 在仿射几何与向量空间中，本题模型可以推广为一个通用的**“平行轨道动点点积不变量定理”： 设 为任意矩形。若点 是与边 垂直的对边 所在直线上的任意一个动态拓扑点。 按照完全相同的正交分解或垂线射影推导，数量积 的响应结果表现出极强的刚性稳健性，其数值完全与动点 的坐标解耦，恒为一个仅由矩形固有边长决定的常数**： 利用此不变量模型，无需关注动点位置，可直接心算锁定终点解。
🔗【关联脉络】
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