2012-北京卷理-15 解-向量

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于公式法、换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x)\sin 2x}{\sin x}$．

(1)求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期；

(2)求 $f(x)$ 的单调递增区间．

🔍【思路分析】

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1. 函数解析式恒等化简：

• 观察分式结构，分母为 $\sin x$。利用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 展开分子，消去分母项。
• 展开多项式得到 $2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x$，利用二倍角余弦公式降幂化简为 $\sin 2x-\cos 2x-1$。
• 应用辅助角公式 $A\sin \omega x+B\cos \omega x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega x+\phi )$，将解析式统一为 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1$ 的标准型。

2. 分析定义域与周期性（第 1 问）：

• 根据原分式方程分母不为 0 的硬性约束，确定定义域。
• 依据标准型中的 $2x$，利用公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 计算最小正周期。

3. 求解单调递增区间（第 2 问）：

• 将整体相位视作变量，令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x-\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$，解出 $x$ 的代数区间。
• 核心拦截点：由于第一步确定了定义域中包含离散的禁入断点 $x\ne k\pi$，必须将求出的连续单调区间在断点处强行截断，改写为独立的分开区间。

✅【答案】

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(1) 定义域 $\{x\mid x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$，最小正周期 $\pi$

(2) 递增区间 $[k\pi -\frac{\pi }{8},k\pi )$ 和 $(k\pi ,k\pi +\frac{3\pi }{8}]$ 其中 $k\in \mathbb{Z}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期

根据原分式函数的定义约束，分母部分绝对不能为 0，即： $\sin x\ne 0⟹x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 因此，函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x\mid x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$。

在合规定义域空间内，应用二倍角正弦公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 对分子进行展开： $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x)\cdot 2\sin x\cos x}{\sin x}$ 消去分子与分母中的公共非零因子 $\sin x$： $f(x)=2(\sin x-\cos x)\cos x=2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x$

再次应用二倍角正弦公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，以及二倍角余弦降幂公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 进行替换： $f(x)=\sin 2x-(1+\cos 2x)=\sin 2x-\cos 2x-1$

应用两角差的正弦辅助角公式进行统一提炼： $f(x)=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1$

由于标准型中自变量 $x$ 的核心系数 $\omega =2$， 根据正弦函数周期计算公式，最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$

（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间

已知标准型为 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1$，其单调性完全由外层正弦函数的增区间决定。 令整体相位处于正弦函数的标准增区间流形内： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x-\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

各项同时加上 $\frac{\pi }{4}$： $-\frac{\pi }{4}+2k\pi ⩽2x⩽\frac{3\pi }{4}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

各项同时除以 $2$，求得连续状态下的自变量取值范围： $-\frac{\pi }{8}+k\pi ⩽x⩽\frac{3\pi }{8}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

此时，必须引入第（1）问中确定的定义域禁入断点 $x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 对上述区间进行空间裁切。 观察数值可知，由于 $-\frac{\pi }{8}<0<\frac{3\pi }{8}$，故断点 $x=k\pi$ 恰好精准地落在了每一个连续递增区间的正内部，将该区间一分为二。

因此，必须在 $k\pi$ 处作强行开界截断，将单调递增区间拆分并规范书写为： $\left[k\pi -\frac{\pi }{8},k\pi \right)\text{和}\left(k\pi ,k\pi +\frac{3\pi }{8}\right](k\in \mathbb{Z})$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数二倍角通式的消项展开；辅助角公式的相位确定；定义域断点对连续单调区间的截断处理。
2. 核心方法：整体代换法；区间去点裁剪法。
3. 避坑指南：

• 完全遗漏原函数分母隐含的定义域约束（全题最惨烈翻车点）：大量考生在化简出标准型后，直接顺水推舟求出 $\left[k\pi -\frac{\pi }{8},k\pi +\frac{3\pi }{8}\right]$ 并作为最终单调区间上交。请死记：任何由分式、对数、根式等初等初等算子构成的三角函数，化简后的新函数必须无条件服从原函数的初始定义域！由于 $x=k\pi$ 处无定义，连续的闭区间必须在这里被生生切断。不作断点裁剪，第二问将直接扣除全部结果分。
• 规范书写单调区间时，两段离散区间之间只能用“ 和 ”字或逗号隔开，绝对不能使用并集符号“ $\cup$ ”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第15题，是全卷大题（解答题）的开篇第一大题。题目以基础的三角恒等变换为载体，在第二问中暗设了“定义域限制单调性”这一极易被忽略的逻辑陷阱，兼顾了基础公式复练与严谨数理逻辑的筛查。
2. 结论推广： 在复分析与初等超越函数流形中，本题模型可推广为**“有理分式超越三角函数单调性截断定理”**： 对于任何形如 $f(x)=\frac{P(\sin x,\cos x)}{\sin x}$ 的函数，求得其全域连续增区间为 $[L_k,R_k]$。 若算术临界点 $k\pi$ 严格落在内域（即 $L_k<k\pi <R_k$），则其最终合法单调空间的拓扑格式恒表现为如下对偶破缺开闭格式，不随多项式具体系数改变： $\text{Intervals}=[L_k,k\pi )\cup (k\pi ,R_k]⟹[L_k,k\pi )\text{ 且 }(k\pi ,R_k]$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质 类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定

• 2008-福建卷理-10

• 2009-福建卷文-19 解-三角函数图象平移