2012-四川卷文-15 填-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的定义与几何性质，以及椭圆的离心率。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1$（$a$ 为定值，且 $a>\sqrt{5}$）的左焦点为 $F$，直线 $x=m$ 与椭圆相交于点 $A$、$B$，$△FAB$ 的周长的最大值是 $12$，则该椭圆的离心率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$△FAB$ 的周长化为 $2\left(a+ct+b\sqrt{1-t^2}\right)$（$t=\frac{m}{a}$），由柯西不等式其最大值为 $4a$，故 $a=3$，$c=2$，离心率 $\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

记半短轴 $b=\sqrt{5}$，半焦距 $c=\sqrt{a^2-5}$，左焦点 $F(-c,0)$。

设 $A(m,y)$、$B(m,-y)$，其中 $y=b\sqrt{1-\frac{m^2}{a^2}}$（$|m|<a$）。

$|FA{|}^2=(m+c{)}^2+y^2=m^2+2mc+c^2+b^2\left(1-\frac{m^2}{a^2}\right)$，把 $b^2=a^2-c^2$ 代入整理得

$|FA{|}^2=a^2+2mc+\frac{c^2{m}^2}{a^2}={\left(a+\frac{cm}{a}\right)}^2$，故 $|FA|=|FB|=a+\frac{cm}{a}$。

$△FAB$ 的周长

$L=2\left(a+\frac{cm}{a}\right)+2b\sqrt{1-\frac{m^2}{a^2}}$。

令 $t=\frac{m}{a}\in [-1,1]$，则 $L=2\left(a+ct+b\sqrt{1-t^2}\right)$。

由柯西不等式：$ct+b\sqrt{1-t^2}⩽\sqrt{c^2+b^2}\cdot \sqrt{t^2+1-t^2}=a$（等号可取），

所以 $L_{\max }=2(a+a)=4a$。

由 $4a=12$ 得 $a=3$，于是 $c=\sqrt{9-5}=2$，离心率

$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的对称性；焦半径的代数表达；柯西不等式求最值

核心方法：把周长写成关于 $t=\frac{m}{a}$ 的函数，用柯西不等式 ${\left(ct+b\sqrt{1-t^2}\right)}_{\max }=\sqrt{c^2+b^2}$ 一步取到最大值

避坑指南：$△FAB$ 的周长最大值是 $4a$ 而非 $2a+2c$：$A$、$B$ 关于 $x$ 轴对称，两条焦半径相等，另外两边是竖直的弦，其最大值为 $2b$ 时 $m=0$，两条结论不能同时取等号，必须用整体柯西。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆离心率的求值题，与 2013 年四川卷文第 9 题、2013 年福建卷文第 15 题同族。

结论推广：对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，竖直弦 $x=m$ 与左焦点构成的三角形周长满足 $L=2\left(a+\frac{cm}{a}+b\sqrt{1-\frac{m^2}{a^2}}\right)⩽4a$，$L_{\max }=4a$ 与 $b$、$c$ 的具体值无关。

方法推广：最值型解析几何填空题：先把目标量写成单变量函数，再选柯西不等式或三角换元求其上界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-09 单-椭圆离心率
• 2012-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
• 2013-福建卷文-15 填-椭圆离心率