2011-新课标卷文-04 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的离心率。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$ 的离心率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$a=4$
2. 步骤2：$b=2\sqrt{2}$
3. 步骤3：$c=\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2}$
4. 步骤4：$e=\frac{c}{a}$

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

椭圆的长半轴、短半轴分别为 $a=4$，$b=2\sqrt{2}$，所以 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

因此离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中 $a^2=b^2+c^2$；离心率公式

核心方法：读出 $a^2,b^2$ → 求 $c$ → 除以 $a$

避坑指南：椭圆是 $c^2=a^2-b^2$（与双曲线相反），$c=\sqrt{16-8}$ 而不是 $\sqrt{16+8}$；离心率必须小于 $1$ 可作检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆离心率直接计算题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 4 题、2013 年新课标Ⅱ文第 5 题同族。

结论推广：$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$；本题 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，一步得 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

方法推广：离心率小题优先用 $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 型公式（椭圆）或 $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$（双曲线），避免单独求 $c$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
• 2012-四川卷文-15 填-椭圆离心率
• 2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率