2013-福建卷文-15 填-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的定义与离心率，以及焦点三角形。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 椭圆 $\Gamma$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，焦距为 $2c$. 若直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 与椭圆 $\Gamma$ 的一个交点 $M$ 满足 $\angle M{F}_1{F}_2=2\angle M{F}_2{F}_1$，则该椭圆的离心率等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 过 $F_1(-c,0)$，斜率 $\sqrt{3}$ → $\angle M{F}_1{F}_2=60^{\circ }$。
2. 设 $\angle M{F}_2{F}_1=\alpha$，则 $60^{\circ }=2\alpha$ → $\alpha =30^{\circ }$ → $\angle F_{1}M{F}_2=90^{\circ }$。
3. 斜边 $F_1{F}_2=2c$：$M{F}_1=2c\sin 30^{\circ }=c$，$M{F}_2=2c\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}c$。
4. $2a=M{F}_1+M{F}_2=(1+\sqrt{3})c$ → $e=\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}-1$

✍【详细解析】

Abstract

先看直线：$y=\sqrt{3}(x+c)$ 当 $x=-c$ 时 $y=0$，故直线过左焦点 $F_1(-c,0)$，且斜率 $\sqrt{3}$，倾角为 $60^{\circ }$。 因为 $F_2$ 在 $x$ 轴上、$F_1$ 在直线上，所以 $\angle M{F}_1{F}_2=60^{\circ }$。 设 $\angle M{F}_2{F}_1=\alpha$，由 $\angle M{F}_1{F}_2=2\alpha$ 得 $\alpha =30^{\circ }$。 于是 $△M{F}_1{F}_2$ 的第三个内角 $\angle F_{1}M{F}_2=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ },$ 即 $M$ 处为直角，斜边为 $F_1{F}_2=2c$。 在直角三角形中： $M{F}_1=2c\sin 30^{\circ }=c,M{F}_2=2c\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}c.$ 由椭圆定义 $M{F}_1+M{F}_2=2a$，得 $2a=(1+\sqrt{3})c\Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆离心率（焦点三角形 + 角倍半关系）

核心方法：直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 过 $F_1$ 且倾角 $60^{\circ }$ → $\angle M{F}_1{F}_2=60^{\circ }=2\angle M{F}_2{F}_1$ → $\angle M{F}_2{F}_1=30^{\circ }$，$\angle F_{1}M{F}_2=90^{\circ }$ → $M{F}_1=c$，$M{F}_2=\sqrt{3}c$ → $2a=(1+\sqrt{3})c$ → $e=\sqrt{3}-1$

避坑指南：两条暗线：直线过焦点（把 $x=-c$ 代入验一下 $y=0$）与内角和定理——先由倍角关系定出三个内角，再用直角三角形边角关系读出两条焦半径；漏掉"$2a=M{F}_1+M{F}_2$"这步就接不回离心率。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的定义与离心率（焦点三角形 + 直线倾角，福建卷填空压轴）。

结论推广：椭圆定义 $M{F}_1+M{F}_2=2a$；$e=\frac{c}{a}$；直线倾角即直线与 $x$ 轴（$F_1{F}_2$ 方向）的夹角。

方法推广：直线方程读倾角 → 内角和定三内角 → 直角三角形解焦半径 → 定义凑 $2a$ → 算 $e$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率
• 2014-安徽卷文-21 解-椭圆离心率
• 2014-江西卷文-14 填-椭圆离心率