2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知 $F_1$、$F_2$ 为双曲线 $C:x^2-y^2=2$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$|P{F}_1|=2|P{F}_2|$，则 $\cos \angle F_{1}P{F}_2=$()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{3}{5}$　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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$a=\sqrt{2}$，$2a=2\sqrt{2}$，由 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$ 得两焦半径 $4\sqrt{2}$ 与 $2\sqrt{2}$，余弦定理得 $\frac{3}{4}$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$x^2-y^2=2$ 即 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$，$a^2=b^2=2$，$c^2=4$，$|F_1{F}_2|=2c=4$。

设 $|P{F}_2|=m$，由 $|P{F}_1|=2m$ 且 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$，$P$ 在右支：$|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a=2\sqrt{2}$，故 $m=2\sqrt{2}$，$|P{F}_1|=4\sqrt{2}$。

$\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2-|F_1{F}_2{|}^2}{2|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|}=\frac{32+8-16}{2\times 4\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的定义（焦半径差）；余弦定理

核心方法：定义式 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$ 定两焦半径 → 余弦定理收口

避坑指南：方程 $x^2-y^2=2$ 需先化成标准形式再读 $a=\sqrt{2}$，别把 $a$ 当成 $2$；$P$ 在右支时 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$，与 $|P{F}_1|=2|P{F}_2|$ 相容。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线定义与焦点三角形结合的经典题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 10 题（等轴双曲线）、2013 年大纲卷理第 21 题同族。

结论推广：一般地，焦点三角形中 $\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{r_1^2+r_2^2-(2c{)}^2}{2r_1{r}_2}$，其中 $r_1,r_2$ 先由定义化成含 $a$ 的量。

方法推广：圆锥曲线焦点三角形套路：定义消去一个焦半径 → 余弦定理（或面积公式）收口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-10 单-等轴双曲线
• 2013-大纲卷理-21 解-双曲线性质