2012-辽宁卷文-15 填-双曲线焦点三角形垂直

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及焦点三角形。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 已知双曲线 $x^2-y^2=1$，点 $F_1$，$F_2$ 为其两个焦点，点 $P$ 为双曲线上一点. 若 $P{F}_1\perp P{F}_2$，则 $|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8$，$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2$，故 $|P{F}_1||P{F}_2|=\frac{8-4}{2}=2$，$|P{F}_1|+|P{F}_2|=\sqrt{8+4}=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $x^2-y^2=1$ 中 $a=1$，$b=1$，$c=\sqrt{2}$，焦距 $|F_1{F}_2|=2\sqrt{2}$。

设 $|P{F}_1|=m$，$|P{F}_2|=n$（不妨 $m>n$，$P$ 在右支上）。由双曲线定义

$m-n=2a=2$。

由 $P{F}_1\perp P{F}_2$ 及勾股定理

$m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8$。

由 $(m-n{)}^2=m^2+n^2-2mn$ 得 $4=8-2mn$，故 $mn=2$。

于是 $(m+n{)}^2=m^2+n^2+2mn=8+4=12$，所以 $m+n=2\sqrt{3}$。

（验证：此时 $m^2$，$n^2$ 是方程 $t^2-2\sqrt{3}t+2=0$ 的两根，$t=\sqrt{3}\pm 1$ 均为正，符合几何意义。）

故 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的定义（焦半径差为 $2a$）；勾股定理；焦点三角形的基本量运算

核心方法：“垂直 → 勾股定平方和；定义 → 定差；再把和与积配出来”

避坑指南：等轴双曲线 $x^2-y^2=1$ 的 $c^2=a^2+b^2=2$，焦距是 $2\sqrt{2}$ 不是 $2$；$P$ 在右支上时 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2$ 取正号，若误取 $-2$ 不影响 $m+n$ 的结果，但会把 $m$，$n$ 的大小搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦点三角形（垂直型）题，与 2012 年大纲卷文第 10 题、2012 年新课标Ⅰ文第 10 题同族。

结论推广：焦点三角形中：$m^2+n^2=4c^2$（$\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$ 时），$(m-n{)}^2=4a^2$，故 $mn=\frac{4c^2-4a^2}{2}=2b^2$，$m+n=\sqrt{4c^2+4a^2}=2\sqrt{a^2+c^2}$；本题 $2\sqrt{1+2}=2\sqrt{3}$。

方法推广：焦点三角形求 $m\pm n$ 或 $mn$：勾股定理给”平方和”，定义给”差（或和）“，两个方程解两个量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2012-新课标卷文-10 单-等轴双曲线
• 2013-北京卷文-07 单-双曲线离心率充要