2012-大纲卷文-15 填-辅助角求最值点

本题导读

本题考查辅助角公式，以及正弦型函数的最值。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 当函数 $y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$（$0⩽x<2\pi$）取得最大值时，$x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$y=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$，最大值时 $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{5\pi }{6}$。

✅【答案】

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$\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$。

最大值为 $2$，此时 $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），即 $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$。

由 $0⩽x<2\pi$，取 $x=\frac{5\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式；正弦型函数的最值与相位

核心方法：化成一个三角函数 → 定相位 → 由范围筛解

避坑指南：相位取 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 对应最大值（取 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 是最小值）；本题范围内只有唯一解，别把 $2k\pi$ 的其他支写上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式求最值点，与 2012 年新课标Ⅰ文第 16 题、2013 年大纲卷文第 9 题同族。

结论推广：一般地，$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\theta )$，其中 $\tan \theta =\frac{b}{a}$；$\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的最大值恒为 $2$。

方法推广：$a\sin x+b\cos x$ 型：先合一，最值点由相位方程给出，最后用范围筛选。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值

• 2013-大纲卷文-09 单-三角函数图象