2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2\cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta =$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=\sqrt{5}\sin (x-\phi )$，其中 $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin \phi =\frac{2}{\sqrt{5}}$。
2. 最大值在 $x-\phi =\frac{\pi }{2}$ 处取到，即 $\theta =\frac{\pi }{2}+\phi$，故 $\cos \theta =-\sin \phi$。

✅【答案】

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$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式，存在 $\phi \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 使 $f(x)=\sin x-2\cos x=\sqrt{5}\sin (x-\phi ),\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{5}},\sin \phi =\frac{2}{\sqrt{5}}.$ 当 $x-\phi =\frac{\pi }{2}$，即 $x=\theta =\frac{\pi }{2}+\phi$ 时 $f(x)$ 取得最大值 $\sqrt{5}$。 于是 $\cos \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=-\sin \phi =-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式

核心方法：化为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 后由最大值点反解角

避坑指南：$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=-\sin \phi$，负号别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的最值与辅助角公式。

结论推广：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x\pm \phi )$，最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$。

方法推广：“最值点求三角函数值”一律先合一，再由相位条件反解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-14 填-三角恒等变换
• 2015-新课标I卷文-08 单-三角函数图象