2012-大纲卷理-11 单-计数

本题导读

本题考查排列组合基本计数原理，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)）

将字母 $a,a,b,b,c,c$ 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()

A. $12$ 种　　　　　B. $18$ 种　　　　　C. $24$ 种　　　　　D. $36$ 种

🔍【思路分析】

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1. 构建数学模型：题目要求的排列可以等价视为一个 $3\times 2$ 的矩阵填空问题。

2. 制定分步策略：由于行与列均有“互不相同”的强约束，通常按“列”作为整体进行分步，会比逐行或逐格讨论更具对称性，不易遗漏。

3. 第一步：安排第一列：第一列共有 3 个位置，由于每列字母互不相同，说明第一列恰好是字母 $a,b,c$ 各出现一次，即对 $a,b,c$ 进行全排列。

4. 第二步：安排第二列：当第一列的排列固定后（不妨假设为自上而下 $a,b,c$），根据“每行字母互不相同”的原则，第二列的第 1 行不能填 $a$、第 2 行不能填 $b$、第 3 行不能填 $c$。同时第二列自身内部也互不相同（即仍由 $a,b,c$ 组成）。这在本质上转化为 $a,b,c$ 的经典错位排列问题。数出可行方案数，最后相乘。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，需要将 6 个字母填入如下三行两列的表格中：

\hline

\text{第一列} & \text{第二列} \ \hline

\text{第 1 行} & \text{第 1 行} \ \hline

\text{第 2 行} & \text{第 2 行} \ \hline

\text{第 3 行} & \text{第 3 行} \ \hline

\end{array}$$

采用分步乘法计数原理进行求解：

第一步：确定第一列的字母排列

因为每列的字母互不相同，且总字母为 $a,a,b,b,c,c$，所以第一列必须由 $a,b,c$ 三个不同字母各占一格组成。

其不同的排列方法数为对这三个元素进行全排列：

$N_1=A_3^3=3\times 2\times 1=6\text{ 种}$

第二步：确定第二列的字母排列

当第一列的排列顺序固定后，由于每行的字母也必须互不相同，第二列的选法会受到强力限制。

不妨设第一列自上而下确定为：第 1 行为 $a$，第 2 行为 $b$，第 3 行为 $c$。

此时，第二列的 3 个空格也必须由剩下的 $a,b,c$ 组成（因为每列字母互不相同），且要满足行不重复：

• 第二列第 1 行：不能填 $a$，所以只能填 $b$ 或 $c$（共 2 种情况）。

下面对第二列第 1 行的这 2 种分支进行具体分析：

1. 若第二列第 1 行填 $b$：

此时剩余字母为 $a,c$。

• 第二列第 2 行不能填 $b$（已满足），由于剩下 $a,c$，且第 3 行对应的第一列是 $c$，所以第二列第 3 行绝对不能填 $c$。

• 因此，第二列第 3 行只能填 $a$，剩下的一格第二列第 2 行填 $c$。

（此分支只有 1 种确定排法：自上而下为 $b,c,a$）

2. 若第二列第 1 行填 $c$：

此时剩余字母为 $a,b$。

• 第二列第 2 行对应的第一列是 $b$，所以第二列第 2 行绝对不能填 $b$，只能填 $a$。

• 剩下的一格第二列第 3 行填 $b$。

（此分支只有 1 种确定排法：自上而下为 $c,a,b$）

综合可知，当第一列固定后，第二列能够满足要求的错位排列方法数恒为：

$N_2=2\times 1=2\text{ 种}$

最终计算总方法数：

根据分步乘法计数原理，总的排列方法共有：

$N=N_1\times N_2=6\times 2=12\text{ 种}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合基本运算、分步乘法计数原理、元素错位排列数。

2. 核心方法：降维分步讨论法。本题如果从“行”的角度入手，由于每一行互不相同的组合可能涉及交叉跨列重叠，会导致分支极其庞杂且容易数重、数漏。转换为从“列”入手，利用一列的确定作为底座，使另一列直接退化为孤立的错位排查。

3. 避坑指南：

• 误当作普通排列：部分考生易忽略“每列字母也互不相同”和“每行字母也互不相同”的双重限制，直接当做不尽相异元素全排列 $\frac{A_6^6}{2!2!2!}=90$ 种来进行盲目筛选。

• 错位排列数算错：在分析第二列时，容易产生直觉疏忽，误认为第 1 行有 2 种选法后，接下来的两行依然能有 $A_2^2=2$ 种任意排法。切记由于第 3 行不能为 $c$、第 2 行不能为 $b$ 的位置绑架，后续每一种分支都已被死死唯一固定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》中关于排列组合应用的高阶思考题。其高等数学背景是线性代数及组合数学中的拉丁方阵（Latin square）与错位排列问题（Derangement）。

2. 结论推广:

• 一般化推广模型（ $3\times 2$ 字母方阵）：若将 $n$ 种不同的字母各 2 个（共 $2n$ 个字母），排成 $n$ 行 2 列的方阵。要求每行字母互不相同，每列字母也互不相同。

• 采用本题相同的按列拆分通法：第一列必然是 $n$ 个不同字母的全排列，方法数为 $A_n^n=n!$。

• 第二列对应的排法要求是每一个位置都与第一列不同，这完美契合经典组合数学中 $n$ 个元素的错位排列数 $D_n$。

• 从而可推导得出其通用的总排列方法数求解推广公式：

$$N = n! \cdot D_n$$

• 其中常见错位排列基本量数值为： $D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44$。

• 本题中 $n=3$，直接套用推广通式： $N=3!\times D_3=6\times 2=12$。如果题目升级为 4 种字母（ $a,a,b,b,c,c,d,d$ ）排成 4 行 2 列，则可瞬时口算得出 $N=4!\times D_4=24\times 9=216$ 种。掌握此推广模型，能使矩阵位置约束计数问题化繁为简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理

• 1989-全国卷理-12 单-排列计数

• 2005-江苏卷-12 单-四棱锥的结构特征