2012-大纲卷理-14 填-三角函数

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角函数的图象与最值。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)）

当函数 $y=\sin x-\sqrt{3}\cos x(0\le x<2\pi )$ 取得最大值时，$x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简三角函数式：由于含有正弦和余弦两项，无法直接判断最值。需利用辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$，提取系数模长 $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=2$，将其合并为单一的正弦型函数。

2. 确定最大值临界点：根据正弦函数 $f(t)=\sin t$ 的性质，当自变量整体相位 $t=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 时，正弦值达到最大值 $1$，此时函数 $y$ 达到最大值 $2$。

3. 结合区间限定求解：根据已知自变量范围 $0\le x<2\pi$，缩算出整体相位的取值区间，解出满足约束条件的唯一 $x$ 值。

✅【答案】

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$\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：辅助角公式正切定向法（最优解）

利用辅助角公式，对原函数解析式进行提取公因式变形：

$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$

利用两角差的正弦公式 $\sin (x-\phi )=\sin x\cos \phi -\cos x\sin \phi$：

设 $\cos \phi =\frac{1}{2}$，$\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$，可确定第一象限特殊角 $\phi =\frac{\pi }{3}$。

代入上式化简得：

$y=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$

因为已知自变量的取值范围为：

$0\le x<2\pi$

各项同时减去 $\frac{\pi }{3}$ 以确定整体相位的取值范围：

$-\frac{\pi }{3}\le x-\frac{\pi }{3}<2\pi -\frac{\pi }{3}⟹-\frac{\pi }{3}\le x-\frac{\pi }{3}<\frac{5\pi }{3}$

根据正弦函数的性质，当且仅当正弦型函数的整体相位等于 $\frac{\pi }{2}$ 时， $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 取得最大值 $1$，此时函数 $y$ 取得最大值 $2$。

观察上述相位区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right)$，在该范围内包含且仅包含一个使正弦函数取得最大值的特征点 $\frac{\pi }{2}$。

令整体相位等于 $\frac{\pi }{2}$ 列出方程：

$x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$

移项通分求解 $x$：

$x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi +2\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$

验证此时 $x=\frac{5\pi }{6}\in [0,2\pi )$，完全符合题意。

填空题答案为：$\frac{5\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式的准确化简、正弦函数图象波峰位置的代数表达。

2. 核心方法：整体代换思想。将复合结构 $x-\frac{\pi }{3}$ 视作一个独立的整体变量 $t$，先求出 $t$ 取得最值时的特殊角，再通过一元一次方程解出原自变量 $x$，能有效防止范围缩放过程中的逻辑混乱。

3. 避坑指南：

• 辅助角正负号弄错：在应用辅助角公式时，容易把 $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 错记为 $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ 或 $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$。提取系数时，务必严格对照和差公式的对应符号及名数。

• 弧度制加减计算失误：最后一步方程移项计算时， $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$ 属于基础异分母通分，需防止忙中出错算成 $\frac{2\pi }{5}$ 等低级失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第五章《三角恒等变换》中关于辅助角公式应用与三角函数最值的经典课后综合题。属于高考考查三角恒等变换与函数图象性质融合的基础题。

2. 结论推广:

• 辅助角最值位置通用模型：对于任意标准复合三角函数 $y=A\sin x+B\cos x(A>0)$。

• 运用辅助角公式可以统一合并为： $y=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$，其中辅助角满足 $\tan \phi =\frac{B}{A}$ （依据 $(A,B)$ 所在象限确定唯一角 $\phi$）。

• 若要使该函数在基本周期区间内取得最大值，其自变量 $x$ 的临界位置满足通用递推通式：

$$x = \frac{\pi}{2} - \varphi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• 本题中 $A=1,B=-\sqrt{3}$，交点位于第四象限，对应的辅助角 $\phi =-\frac{\pi }{3}$。直接代入推广公式的最基础周期项（$k=0$）计算： $x=\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$。熟记这一变换关联，在解决任何同类型三角函数求最值点的问题时，均可实现快速得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷理-16 解-两角和与差的正弦公式

• 2011-上海卷文-04 填-辅助角最值

• 2014-上海卷文-12 填-三角方程