2012-大纲卷理-21 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于待定切点法、联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)） 已知抛物线 $C:y=(x+1{)}^2$ 与圆 $M:(x-1{)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=r^2(r>0)$ 有一个公共点 $A$，且在 $A$ 处两曲线的切线为同一直线 $l$.

(1)求 $r$；

(2)设 $m,n$ 是异于 $l$ 且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线，$m,n$ 的交点为 $D$，求 $D$ 到 $l$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（Ⅰ）问思路：

• 设公共切点 $A(x_0,y_0)$，由于 $A$ 在抛物线上，则 $y_0=(x_0+1{)}^2$。
• 对抛物线方程求导得到导函数，从而表示出公切线 $l$ 的斜率 $k=f^{\prime }(x_0)=2(x_0+1)$。
• 根据圆的几何性质，圆心与切点的连线 $MA$ 必然垂直于切线 $l$。由此可得它们的斜率乘积满足 $k\cdot k_{MA}=-1$。
• 提取圆心 $M\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 坐标列出关于 $x_0$ 的方程，解出切点 $A$ 的坐标。最后两点间距离公式 $|MA|$ 即为圆的半径 $r$。

2. 第（Ⅱ）问思路：

• 引入动态参数，设抛物线上任意一点 $(t,(t+1{)}^2)$ 处的切线方程。利用导数点斜式展开将其化为一般式 $2(t+1)x-y-t^2+1=0$。
• 关键判定条件：若该直线同时与圆 $M$ 相切，则圆心 $M\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 到该直线的距离必须严格等于圆的半径 $r$。
• 带入点到直线的距离公式，可得到一个关于参数 $t$ 的高次代数方程。显见 $t=0$（对应第一问的公切线 $l$）是该方程的一个根。通过因式分解提取出商式，解出另外两条公切线 $m,n$ 所对应的切点横坐标 $t_1,t_2$。
• 分别写出 $m,n$ 的直线方程并联立，求出交点 $D$ 的坐标。最后使用点到直线距离公式算出 $D$ 到直线 $l$ 的垂直高度。

✅【答案】

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(1) $r=\frac{\sqrt{5}}{2}$

(2) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设公共切点 $A$ 的坐标为 $(x_0,(x_0+1{)}^2)$。 对抛物线方程 $y=(x+1{)}^2$ 求导得： $y^{\prime }=2(x+1)$ 所以，抛物线在点 $A$ 处的切线 $l$ 的斜率 $k$ 为： $k=2(x_0+1)$

当 $x_0=1$ 时，切线斜率 $k=4$。而此时 $A(1,4)$，圆心 $M\left(1,\frac{1}{2}\right)$，连线 $MA$ 垂直于 $x$ 轴，斜率不存在，两者不满足垂直关系，故 $x_0\ne 1$。

由圆的方程可知，圆心坐标为 $M\left(1,\frac{1}{2}\right)$。 计算圆心与切点连线 $MA$ 的斜率 $k_{MA}$： $k_{MA}=\frac{(x_0+1{)}^2-\frac{1}{2}}{x_0-1}$

根据圆的几何性质，圆的半径经过切点时与切线垂直，即 $l\perp MA$，则它们的斜率乘积为 $-1$： $2(x_0+1)\times \frac{(x_0+1{)}^2-\frac{1}{2}}{x_0-1}=-1$

两边同乘以 $(x_0-1)$ 展开变形： $2(x_0+1)\left[(x_0+1{)}^2-\frac{1}{2}\right]=-(x_0-1)$ $2(x_0+1{)}^3-(x_0+1)=-x_0+1$ 由于 $-x_0+1=-(x_0+1)+2$，代入上式消去相同的 $-(x_0+1)$ 项得： $2(x_0+1{)}^3=2⟹(x_0+1{)}^3=1$ 解得唯一实根： $x_0+1=1⟹x_0=0$

将 $x_0=0$ 代回，得切点 $A$ 的精确坐标为： $A(0,1)$

圆的半径 $r$ 即为线段 $MA$ 的长度： $r=|MA|=\sqrt{(0-1{)}^2+{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

所以，半径 $r$ 的值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$。

（Ⅱ）解： 设 $(t,(t+1{)}^2)$ 为抛物线 $C$ 上的任意一点。 根据导数的几何意义，抛物线在该点处的切线斜率为 $2(t+1)$。 由点斜式写出该切线的方程： $y-(t+1{)}^2=2(t+1)(x-t)$ 展开并化为一般式： $y-(t^2+2t+1)=2(t+1)x-2t^2-2t⟹2(t+1)x-y-t^2+1=0$

若该直线同时与圆 $M$ 相切，则圆心 $M\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 到该切线的距离 $d$ 必须等于圆的半径 $r=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 利用点到直线的距离公式列出方程： $d=\frac{|2(t+1)\times 1-\frac{1}{2}-t^2+1|}{\sqrt{[2(t+1){]}^2+(-1{)}^2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

分子部分化简为： $\left|2t+2-\frac{1}{2}-t^2+1\right|=\left|-t^2+2t+\frac{5}{2}\right|$ 分母部分展开为： $\sqrt{4(t^2+2t+1)+1}=\sqrt{4t^2+8t+5}$

代回等式并两边同时平方以消去绝对值与根号： $\frac{{\left(-t^2+2t+\frac{5}{2}\right)}^2}{4t^2+8t+5}=\frac{5}{4}$ $4{\left(-t^2+2t+\frac{5}{2}\right)}^2=5(4t^2+8t+5)$

将左边完全平方项展开： $4\left(t^4+4t^2+\frac{25}{4}-4t^3-5t^2+10t\right)=20t^2+40t+25$ $4t^4-16t^3-4t^2+40t+25=20t^2+40t+25$

移项合并同类项，两边消除常数项 $25$ 以及一次项 $40t$ 得： $4t^4-16t^3-24t^2=0$ 两边同除以 4 提取公因式： $t^2(t^2-4t-6)=0$

解得该方程的根为： $t_0=0,t_1=2+\sqrt{10},t_2=2-\sqrt{10}$

其中 $t_0=0$ 对应的正是第（Ⅰ）问中的公切线 $l$，其方程为： $2(0+1)x-y-0^2+1=0⟹l:2x-y+1=0$

另外两个不同的根 $t_1$ 和 $t_2$ 对应异于 $l$ 的两条公切线 $m$ 和 $n$。 根据前面的切线通式，分别写出直线 $m$ 和 $n$ 的方程： $m:y=2(t_1+1)x-t_1^2+1\text{(1)}$ $n:y=2(t_2+1)x-t_2^2+1\text{(2)}$

联立①、②两式求交点 $D$ 的坐标。① - ② 得： $2(t_1-t_2)x-(t_1^2-t_2^2)=0$ $2(t_1-t_2)x=(t_1-t_2)(t_1+t_2)$ 因为 $t_1\ne t_2$，两边同除以 $(t_1-t_2)$ 得交点横坐标： $x_D=\frac{t_1+t_2}{2}$

根据一元二次方程 $t^2-4t-6=0$ 的韦达定理，两根之和与两根之积分别为： $t_1+a_2=4,t_1{t}_2=-6$ 由此算出交点 $D$ 的横坐标： $x_D=\frac{4}{2}=2$

将 $x_D=2$ 代入直线 $m$ 的方程①中求纵坐标： $y_D=2(t_1+1)\times 2-t_1^2+1=4t_1+4-t_1^2+1=-t_1^2+4t_1+5$ 因为 $t_1$ 是方程 $t^2-4t-6=0$ 的根，满足降幂恒等式： $t_1^2-4t_1-6=0⟹-t_1^2+4t_1=-6$ 代入上式可快速算出纵坐标： $y_D=-6+5=-1$ 所以，交点 $D$ 的精确坐标为： $D(2,-1)$

最后，计算点 $D(2,-1)$ 到直线 $l:2x-y+1=0$ 的垂直距离 $s$： $s=\frac{|2\times 2-(-1)+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|4+1+1|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

所以，点 $D$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：曲线公切线的求导表达、圆的切线长几何距离公式、利用韦达定理和整体降幂解高次直线交点。
2. 核心方法：切点参数方程法（公切线通法）。面对圆锥曲线与圆的公切线问题，设抛物线上的动态切点 $t$ 写出单边切线方程，再利用圆心到直线距离等于半径 $d=r$ 锁死参数，是破解此类混合曲线题最不容易错的解析标准步骤。
3. 避坑指南：

• 盲目展开高次方程：在第（Ⅱ）问中，联立后得到了一个关于 $t$ 的四次方程。很多考生在这一步极易因计算量过大而中途放弃，或者在求出 $t_1,t_2$ 的复杂带根号根后直接代入直线方程去强行通分计算。切记利用韦达定理 $t_1+t_2=4$ 确定横坐标，并利用方程根的降幂式 $-t^2+4t=-6$ 去整体替换纵坐标，能将原本长达两页的恶性计算量精简在两行之内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线与方程》中抛物线与圆综合位置关系的章末压轴题。其高等数学背景可追溯到微分几何中的包络线（Envelope）与圆锥曲线的对偶几何理论（Dual geometry）。
2. 结论推广:

• 抛物线与圆公切线交点通用对称定则：在任意标准垂直抛物线 $y=p(x-x_0{)}^2+y_0$ 与圆心位于对称轴一侧的圆构成的公切线几何系统中。
• 只要存在 3 条公切线 $l,m,n$（其中 $l$ 为公共特征相切点处的公切线），另外两条对称外侧公切线 $m,n$ 对应的抛物线切点横坐标 $t_1,t_2$ 必定关于中间切点呈现固定的级数代数关联。
• 经纯字母系数通分化简后，可证得：另外两条切线的交点 $D$ 的横坐标，恒等于这两个外侧切点横坐标的算术平均数（即 $x_D=\frac{t_1+t_2}{2}$），且该交点必然严格落在抛物线焦点所在的某条特定水平准线方向上。
• 掌握此对偶性质与韦达定理的联合消元技术，在解答任何类似的二次曲线多切线交点问题时，均能迅速透视出交点横坐标与纵坐标的降幂阶梯，从而实现化繁为简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定 类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在

• 2010-广东卷文-21 解-导数切线距离比

• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式