2012-天津卷文-12 填-直线与圆弦长三角形面积

本题导读

本题考查直线与圆相交的弦长，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 设 $m$，$n\in \mathbf{R}$，若直线 $l:mx+ny-1=0$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$，与 $y$ 轴相交于点 $B$，且 $l$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 相交所得弦的长为 $2$，$O$ 为坐标原点，则 $△AOB$ 面积的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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弦长为 $2$ 给出圆心距 $\sqrt{3}$，即 $m^2+n^2=\frac{1}{3}$；$S=\frac{1}{2|mn|}⩾3$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $O$ 到 $l$ 的距离 $d=\frac{|-1|}{\sqrt{m^2+n^2}}$。弦长 $2=2\sqrt{4-d^2}$，故 $d^2=3$，即 $m^2+n^2=\frac{1}{3}$。

$A\left(\frac{1}{m},0\right)$，$B\left(0,\frac{1}{n}\right)$（此时 $mn\ne 0$），$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot \left|\frac{1}{mn}\right|$。

由 $|mn|⩽\frac{m^2+n^2}{2}=\frac{1}{6}$（当 $|m|=|n|=\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时取等），得 $S⩾\frac{1}{2}\times 6=3$。

故 $△AOB$ 面积的最小值为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的弦长公式；基本不等式

核心方法：弦长 → 圆心距 → $m^2+n^2$；再由 $|mn|⩽\frac{m^2+n^2}{2}$ 收敛面积

避坑指南：$d$ 的分子是 $|-1|$；$m$ 或 $n$ 为 $0$ 时直线不过两轴的交点，$△AOB$ 不存在，需排除；取等条件 $|m|=|n|$ 与 $m^2+n^2=\frac{1}{3}$ 相容，最小值可以取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：弦长与截距三角形面积结合的最值题，与 2012 年北京卷文第 9 题、2014 年重庆卷文第 14 题同族。

结论推广：弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$；截距三角形面积 $S=\frac{1}{2|mn|}$，由 $|mn|⩽\frac{m^2+n^2}{2}$ 与平方和条件衔接。

方法推广：直线与圆的弦长问题先算圆心距；含参数最值优先基本不等式，并检查取等条件是否可实现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长
• 2014-重庆卷文-14 填-直线与圆
• 2025-天津卷-12 填-直线与圆相交弦长