2010-上海卷文-14 填-直线围三角形面积极限

本题导读

考查面积与极限。三顶点 $(1,0),(0,1),\left(\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}\right)$，$S_n=\frac{n-1}{2(n+1)}\to \frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 将直线 $l_1:x+y-1=0$，$l_2:nx+y-n=0$，$l_3:x+ny-n=0$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$n⩾2$）围成的三角形面积记为 $S_n$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $l_1\cap l_2=(1,0)$，$l_1\cap l_3=(0,1)$，$l_2\cap l_3=\left(\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}\right)$。
2. 底边长 $\sqrt{2}$，高为点 $\left(\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}\right)$ 到 $l_1$ 的距离 $\frac{n-1}{(n+1)\sqrt{2}}$。
3. $S_n=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{n-1}{(n+1)\sqrt{2}}=\frac{n-1}{2(n+1)}$。
4. $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

联立求交点： $l_1\cap l_2:(1,0);l_1\cap l_3:(0,1);l_2\cap l_3:\left(\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}\right).$ 以 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 的连线为底边，长 $\sqrt{2}$； 第三顶点到底边 $x+y-1=0$ 的距离为 $\frac{\left|\frac{2n}{n+1}-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{n-1}{(n+1)\sqrt{2}}.$ 故 $S_n=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{n-1}{(n+1)\sqrt{2}}=\frac{n-1}{2(n+1)},$ ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{n-1}{2(n+1)}=\frac{1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线围成的三角形面积与极限

核心方法：求交点、选底边、点线距离求高，最后取极限

避坑指南：$l_2$ 与 $l_3$ 的交点满足 $x=y=\frac{n}{n+1}$，它趋近于 $(1,1)$ 而不是在 $l_1$ 上；$S_n=\frac{n-1}{2(n+1)}$，极限是 $\frac{1}{2}$ 不是 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参数 $n$ 的图形量构成数列，取极限是上海卷特色收尾方式。

结论推广：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-1}{2(n+1)}=\frac{1}{2}$，抓最高次项系数之比。

方法推广：三点求面积可选”底乘高”或行列式公式 $S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+\cdots |$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形
• 2012-天津卷文-12 填-直线与圆弦长三角形面积
• 2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积