2012-天津卷文-13 填-圆幂定理求线段

本题导读

本题考查相交弦定理，以及切割线定理。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 如图，已知 $AB$ 和 $AC$ 是圆的两条弦，过点 $B$ 作圆的切线与 $AC$ 的延长线相交于点 $D$. 过点 $C$ 作 $BD$ 的平行线与圆相交于点 $E$，与 $AB$ 相交于点 $F$，$AF=3$，$FB=1$，$EF=\frac{3}{2}$，则线段 $CD$ 的长为$\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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相交弦得 $CF=2$；$△ACF\backsim △ADB$ 给出 $DB=\frac{8}{3}$、$AC=3CD$；再用切割线定理 $D{B}^2=DC\cdot DA$ 得 $CD=\frac{4}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由相交弦定理（弦 $AB$ 与 $CE$ 交于 $F$）：$AF\cdot FB=CF\cdot FE$，即 $3\times 1=CF\times \frac{3}{2}$，得 $CF=2$。

因 $CF\parallel DB$，$△ACF\backsim △ADB$，故 $\frac{CF}{DB}=\frac{AF}{AB}=\frac{3}{4}$，得 $DB=\frac{4}{3}\times 2=\frac{8}{3}$；又 $\frac{AC}{AD}=\frac{3}{4}$，即 $AD=\frac{4}{3}AC$，于是 $CD=AD-AC=\frac{1}{3}AC$，$AC=3CD$。

由切割线定理：$D{B}^2=DC\cdot DA$，即 $\frac{64}{9}=CD\cdot \frac{4}{3}AC=CD\cdot \frac{4}{3}\times 3CD=4C{D}^2$，得 $CD=\frac{4}{3}$（取正值）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相交弦定理与切割线定理；平行线分线段成比例

核心方法：先用相交弦定理算出 $CF$，再借相似与切割线定理两层递推

避坑指南：$EF=\frac{3}{2}$ 只是 $CE$ 的一部分，$CE=CF+FE=\frac{7}{2}$；切线是过 $B$ 的 $BD$，$DB$ 不是弦，不能套相交弦定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆幂定理综合题，与 2013 年天津卷文第 13 题、2015 年天津卷文第 6 题同族。

结论推广：相交弦：$AF\cdot FB=CF\cdot FE$；切割线：$D{B}^2=DC\cdot DA$；与切线平行的弦常把两个定理串在一起。

方法推广：圆中求线段：先找已知三条线段的幂定理等式，再用相似或平行传递比例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦
• 2015-天津卷文-06 单-相交弦定理
• 2014-新课标II卷文-22 解-圆幂定理