2012-天津卷理-16 解-二项分布

本题导读

本题考查二项分布的概率计算与离散型随机变量的分布列。核心在于公式法、枚举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 有 $4$ 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 $1$ 或 $2$ 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 $2$ 的人去参加乙游戏.

(1) 求这 $4$ 个人中恰有 $2$ 人去参加甲游戏的概率；

(2) 求这 $4$ 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3) 用 $X,Y$ 分别表示这 $4$ 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $\xi =|X-Y|$，求随机变量 $\xi$ 的分布列与数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定模型：每人去甲游戏的概率为 $\frac{1}{3}$，四人独立，去甲人数 $X\sim B\left(4,\frac{1}{3}\right)$。
2. 算前两问：用二项分布概率公式分别求 $P(X=2)$ 与 $P(X\ge 3)$。
3. 写分布列：把 $\xi =|X-Y|=|2X-4|$ 的取值与 $X$ 的取值对应，列表后按定义求期望。

✅【答案】

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(1) $\frac{8}{27}$

(2) $\frac{1}{9}$

(3) $P(\xi =0)=\frac{8}{27}$，$P(\xi =2)=\frac{40}{81}$，$P(\xi =4)=\frac{17}{81}$，$E\xi =\frac{148}{81}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定概率模型 掷一次骰子，点数为 $1$ 或 $2$ 的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，点数大于 $2$ 的概率为 $\frac{2}{3}$。 设 $4$ 人中去甲游戏的人数为 $X$，则 $X\sim B\left(4,\frac{1}{3}\right)$，即 $P(X=j)={\mathrm{C}}_4^j{\left(\frac{1}{3}\right)}^j{\left(\frac{2}{3}\right)}^{4-j},j=0,1,2,3,4$

第二步：求第 (1) 问 $P(X=2)={\mathrm{C}}_4^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=6\times \frac{1}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$

第三步：求第 (2) 问 去甲人数大于去乙人数即 $X>4-X$，也就是 $X\ge 3$： $P(X\ge 3)={\mathrm{C}}_4^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\left(\frac{2}{3}\right)+{\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{8}{81}+\frac{1}{81}=\frac{9}{81}=\frac{1}{9}$

第四步：求第 (3) 问 由 $X+Y=4$ 得 $\xi =|X-Y|=|2X-4|$，故 $\xi$ 的可能取值为 $0,2,4$： $P(\xi =0)=P(X=2)=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$ $P(\xi =2)=P(X=1)+P(X=3)=\frac{32}{81}+\frac{8}{81}=\frac{40}{81}$ $P(\xi =4)=P(X=0)+P(X=4)=\frac{16}{81}+\frac{1}{81}=\frac{17}{81}$ （其中 $P(X=1)={\mathrm{C}}_4^1\cdot \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{32}{81}$，$P(X=3)={\mathrm{C}}_4^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{81}$。） 于是 $E\xi =0\times \frac{8}{27}+2\times \frac{40}{81}+4\times \frac{17}{81}=\frac{80+68}{81}=\frac{148}{81}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项分布的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望。

核心方法：公式法 + 枚举法——用 $P(X=j)={\mathrm{C}}_4^j{p}^j(1-p{)}^{4-j}$ 逐项计算，再按 $\xi$ 的取值合并。

避坑指南：$\xi =|X-Y|$ 的取值只有 $0,2,4$，一个 $\xi$ 值可能对应两个 $X$ 值（如 $\xi =2\iff X=1$ 或 $3$），合并时勿漏项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自二项分布与分布列的基础训练，把”骰子定向”包装成实际情境。

结论推广：若 $X\sim B(n,p)$，则 $E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$；本题 $E(X)=\frac{4}{3}$。

方法推广：求随机变量函数的分布列，先列出原变量的取值与概率，再按函数关系合并同类项。

🔗【关联脉络】

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