2012-安徽卷文-16 解-和角正弦与中线长

本题导读

本题考查两角和的正弦公式。核心在于公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边为 $a$，$b$，$c$，且有 $2\sin B\cos A=\sin A\cos C+\cos A\sin C$.

(1) 求角 $A$ 的大小；

(2) 若 $b=2$，$c=1$，$D$ 为 $BC$ 的中点，求 $AD$ 的长.

🔍【思路分析】

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(1) $A=\frac{\pi }{3}$；(2) $AD=\frac{\sqrt{7}}{2}$。

✅【答案】

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(1) $A=\frac{\pi }{3}$；(2) $AD=\frac{\sqrt{7}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $\sin A\cos C+\cos A\sin C=\sin (A+C)=\sin (\pi -B)=\sin B$。

故条件化为 $2\sin B\cos A=\sin B$。$B\in (0,\pi )$，$\sin B\ne 0$，两边约去得 $\cos A=\frac{1}{2}$，故 $A=\frac{\pi }{3}$。

(2) 由余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=4+1-2\times 2\times 1\times \frac{1}{2}=3$，$a=\sqrt{3}$。

中线长公式：$AD=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{8+2-3}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。

（也可用向量：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，$|AD{|}^2=\frac{1}{4}(c^2+b^2+2bc\cos A)=\frac{1}{4}(1+4+2)=\frac{7}{4}$，一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和正弦与内角和的配合（$\sin (A+C)=\sin B$）；余弦定理；中线长公式（或向量法）

核心方法：(1) 识别”右端是一个和角正弦”直接合并；(2) 先求 $a$ 再套中线长公式，或用 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$

避坑指南：(1) 约去 $\sin B$ 前要说明 $\sin B\ne 0$（$B$ 是三角形内角）；(2) 中线长公式里 $a$ 是被平分的边，系数别代错；用向量法时 $2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2bc\cos A=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与中线综合题，与 2012 年浙江卷文第 18 题、2013 年山东卷文第 17 题同族。

结论推广：中线长公式 $m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$（=$\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos A}$）；$\sin (A+C)=\sin B$、$\cos (A+C)=-\cos B$ 是解三角形条件化简的常用桥梁。

方法推广：解三角形大题：条件里出现”两个三角函数之积 = 和角展开”时先合并右端，约去公因子前说明其非零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2012-江西卷文-16 解-差角余弦与解三角形