2012-安徽卷理-05 单-概率

本题导读

本题考查平均数，以及中位数。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()

A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取数据：根据条形图列出两人的成绩。

• 甲：4, 5, 6, 7, 8
• 乙：5, 5, 5, 6, 9

2. 计算特征值：

• 平均数：求和后除以 5。
• 中位数：排序后找第 3 个数。
• 极差：最大值减最小值。
• 方差：根据公式 $S^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 计算，或通过观察数据离散程度判断。

3. 对比分析：将算得的结果与选项对应，选出正确答案。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：整理原始数据

• 甲的成绩：4, 5, 6, 7, 8
• 乙的成绩：5, 5, 5, 6, 9

第二步：计算各项统计量

1. 平均数 $\bar{x}$：

• ${\bar{x}}_{\text{甲}}=\frac{4+5+6+7+8}{5}=6$

• ${\bar{x}}_{\text{乙}}=\frac{5\times 3+6+9}{5}=6$

• 结论：${\bar{x}}_{\text{甲}}={\bar{x}}_{\text{乙}}$，排除 A。

2. 中位数 $M$：

• 甲的中位数为 6。

• 乙的中位数为 5。

• 结论：$M_{\text{甲}}\ne M_{\text{乙}}$，排除 B。

3. 极差 $R$：

• $R_{\text{甲}}=8-4=4$

• $R_{\text{乙}}=9-5=4$

• 结论：$R_{\text{甲}}=R_{\text{乙}}$，排除 D。

4. 方差 $S^2$：

• $S_{\text{甲}}^2=\frac{1}{5}[(4-6{)}^2+(5-6{)}^2+(6-6{)}^2+(7-6{)}^2+(8-6{)}^2]=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$
• $S_{\text{乙}}^2=\frac{1}{5}[(5-6{)}^2\times 3+(6-6{)}^2+(9-6{)}^2]=\frac{1\times 3+0+9}{5}=\frac{12}{5}=2.4$
• 结论：$S_{\text{甲}}^2<S_{\text{乙}}^2$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：准确计算平均数、中位数、方差和极差。
2. 核心方法：离散程度直观法。方差描述的是数据偏离平均值的程度。观察条形图发现，甲的数据分布相对均匀对称，而乙的数据有 3 个集中在 5（偏离 1），但有一个 9（偏离 3 较大），大偏差的平方对分方差贡献巨大，故乙的方差更大。
3. 易错点：中位数的找寻。乙的数据中 5 出现了 3 次，排序后第 3 位依然是 5。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 在平均数相等的前提下，数据分布越“紧凑”（向中心靠拢），方差越小；数据越“散”（尤其是存在离群值），方差越大。
2. 方法推广: 面对这类选择题，如果平均数和极差一眼就能看出相等，可以直接通过观察数据的离散程度来快速判断方差大小，节省计算时间。
3. 题目推广: 若增加一组数据“6, 6, 6, 6, 6”，其方差为 0，是波动最小的情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-10 填-中位数与方差最小
• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差
• 2010-福建卷文-09 单-茎叶图中位数平均数