2012-安徽卷理-11 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划问题，以及一次函数与斜率。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+2y\ge 3\\ 2x+y\le 3\end{array}$，则 $x-y$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：在直角坐标系中画出不等式组表示的封闭区域。
2. 求顶点坐标：求出该平面区域（通常为三角形）的所有顶点。
3. 分析目标函数：令 $z=x-y$，变形为 $y=x-z$。这表示斜率为 1，截距为 $-z$ 的一组平行直线。$z$ 最大时，截距 $-z$ 最小；$z$ 最小时，截距 $-z$ 最大。
4. 确定最值：将顶点坐标代入目标函数 $z=x-y$，计算各点处的数值，从而得出取值范围。

✅【答案】

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$[-3,0]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定可行域 由约束条件 $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+2y=3\\ 2x+y=3\end{array}$ 确定的平面区域如下图所示。

第二步：计算顶点坐标

• 联立 $x=0$ 与 $x+2y=3$，得点 $B(0,1.5)$。
• 联立 $x=0$ 与 $2x+y=3$，得点 $A(0,3)$。
• 联立 $x+2y=3$ 与 $2x+y=3$，得点 $C(1,1)$。 可行域是以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域。

第三步：求目标函数 $z=x-y$ 的值

• 代入 $A(0,3)$：$z=0-3=-3$。
• 代入 $B(0,1.5)$：$z=0-1.5=-1.5$。
• 代入 $C(1,1)$：$z=1-1=0$。

第四步：得出取值范围 比较上述三个值可知，目标函数的最小值为 $-3$，最大值为 $0$。 因为可行域是封闭的凸多边形，所以 $z$ 的取值范围是连续的区间 $[-3,0]$。

故答案为：$[-3,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划的几何意义。
2. 核心方法：“画、移、求、答”。即画出可行域，平移目标直线，求出最值点，最后给出答案。
3. 易错点：可行域区域判定错误。在画图时，需严格按照“直线定界，测试点定域”的方法确定不等式的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 线性目标函数的最值点必在可行域的顶点（或边界线）处取得。
2. 方法推广: 对于非线性目标函数（如距离型 $\sqrt{x^2+y^2}$ 或斜率型 $\frac{y}{x}$），则需结合对应的几何背景进行分析。
3. 题目推广: 若目标函数改为 $x^2+y^2$，则求的是可行域内点到原点距离平方的范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率 类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-13 填-线性规划

• 2013-天津卷理-02 单-线性规划

• 2013-山东卷理-06 单-线性规划