2013-浙江卷理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及简单线性规划问题。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 13. 设 $z=kx+y$，其中实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y-2\ge 0\\ x-2y+4\ge 0\\ 2x-y-4\le 0\end{array}$.若 $z$ 的最大值为 12，则实数 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：由三条直线围成的封闭区域即为可行域。求出三个顶点的坐标。
2. 分析目标函数：将 $z=kx+y$ 变形为 $y=-kx+z$，即斜率为 $-k$、截距为 $z$ 的平行直线系。$z$ 最大即截距 $z$ 最大。
3. 分类讨论斜率：目标函数的最大值通常在可行域的顶点处取得。由于 $k$ 的不确定性，需要讨论 $-k$ 与可行域边界斜率的大小关系，从而确定哪个顶点是最大值点。
4. 建立方程：代入最值点坐标及 $z=12$，求出 $k$ 并检验是否满足讨论范围。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract


第一步：确定可行域顶点 联立直线方程组：

• 由 $\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 2x-y-4=0\end{array}$ 得交点 $A(4,4)$。
• 由 $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ x-2y+4=0\end{array}$ 得交点 $B(0,2)$。
• 由 $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ 2x-y-4=0\end{array}$ 得交点 $C(2,0)$。 可行域是以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域。

第二步：讨论斜率确定最值点 目标函数 $y=-kx+z$。边界斜率 $k_{AB}=\frac{1}{2}$，$k_{AC}=2$。

1. 当 $-k>-\frac{1}{2}$（即 $k<\frac{1}{2}$）时： 直线 $y=-kx+z$ 向上平移时，最后经过点 $A(4,4)$，此时 $z$ 最大。 代入得 $12=4k+4⟹k=2$。 此时 $k=2$ 不满足假设 $k<\frac{1}{2}$，舍去（注：此处需结合图形趋势，若 $k$ 很大，截距最大点可能变化）。

2. 观察图形进一步判定： 由于 $z=kx+y$ 且截距 $z$ 最大。若 $k$ 为正数且较大，点 $A(4,4)$ 的横纵坐标均为最大，极有可能是最值点。 代入 $A(4,4)$ 到 $z=kx+y$ 得：$12=4k+4⟹k=2$。 此时目标函数为 $y=-2x+z$，其斜率 $-2$ 小于边界 $k_{BC}=-1$ 和 $k_{AB}=0.5$。 在可行域图中，以 $-2$ 为斜率的直线向上平移，确实在 $A(4,4)$ 处截距 $z$ 达到最大。

第三步：检验其他顶点

• 若最大值点为 $B(0,2)$，则 $12=k\cdot 0+2⟹2=12$（矛盾）。
• 若最大值点为 $C(2,0)$，则 $12=2k+0⟹k=6$。此时目标函数 $y=-6x+z$，平移可发现最大值点应在 $B$ 或 $A$ 附近，不满足 $C$ 为最大值点。

综上所述，必有 $k=2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的几何意义——目标函数在可行域顶点或边界上取得最值。

核心方法：“先找点，后验斜率”。由于填空题通常只有唯一解，可以先假设某个顶点为最值点求出参数，再画图验证该参数下目标函数的走势是否符合预期。

避坑指南：注意截距与 $z$ 的关系。若目标函数是 $z=kx-y$，则 $y=kx-z$，截距最大时 $z$ 反而最小。本题 $y$ 的系数为正，截距趋势与 $z$ 一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组表示的平面区域、点到直线的距离公式（用于处理 $ax+by$ 型目标函数的几何解释）。

结论推广：线性规划的最值点必在凸集（可行域）的顶点处产生。如果目标函数斜率与边界重合，则整条边界上的点均为最值点。

方法推广：面对参数在系数上的题，转动目标直线，观察哪条切线（经过顶点的直线）截距最大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划